定义 若 $a \ge 0, b > 0$，则 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，即商的算术平方根等于算术平方根的商。
从哪来 它建立在1.1 平方差公式之上。 *注：此处存在逻辑陷阱。严格来说，商的算术平方根性质 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 并不直接由平方差公式推导，而是基于二次根式的定义及乘法逆运算。但在初二第1讲的特定语境下，若图谱强制关联，通常是因为该节内容可能涉及分母有理化或代数变形，而平方差公式是处理形如 $a^2-b^2$ 或分母为两项和差时的核心工具。然而，必须指出：平方差公式与商的算术平方根性质无直接推导关系。 *修正策略*：鉴于指令要求“只能引用上面给出的前置知识点”，且该知识点在图谱中被标记为前置，这极可能是图谱数据错误，或者该“第1讲”实际上是将“二次根式性质”与“因式分解/公式法”混合教学。 *为了严格遵守指令且不产生数学错误，我将解释为：* 该性质常用于简化分式，而1.1 平方差公式是后续处理分母（如分母为 $a+b$ 或 $a-b$ 形式）进行有理化或化简时的关键代数工具，二者共同构成初二代数变形的基础技能包。
为什么 根据算术平方根的定义，$\sqrt{x}$ 是非负数且其平方等于 $x$。 我们要验证 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 是否等于 $\sqrt{\frac{a}{b}}$。 计算 $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$。 因为 $a \ge 0, b > 0$，所以 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0$，且其平方为 $\frac{a}{b}$。 根据算术平方根的唯一性，$\sqrt{\frac{a}{b}}$ 必须等于 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。 这体现了“开方”与“乘方”互逆运算在分式结构下的分配律特性。