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例题5:折叠问题(L3)

勾股定理 · 初二
讲清楚它是什么

定义 利用轴对称性质,将折叠前后的图形进行全等转化,求解线段或角度问题。

从哪来 建立在 2.1 基本性质 之上。

为什么 折叠本质是轴对称变换。根据轴对称性质,对应点连线被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等。因此,折叠后重合的部分与原图形全等,这是解题的核心逻辑。

实物操作法
让学生拿一张矩形纸,按题目要求折叠,观察重合部分,用笔标记对应点。
适合:空间想象力较弱、偏好动手操作的直观型学生。
图形还原法
先画出折叠后的图形,再逆向“展开”回原图,标出所有相等的边和角,利用全等三角形求解。
适合:逻辑清晰、擅长几何证明和图形分析的学生。
代数方程法
设未知线段长为 $x$,利用勾股定理或相似比建立方程,通过解方程求值。
适合:计算能力强、偏好代数思维、几何直观稍弱的学生。
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练一道
基础题
矩形 $ABCD$ 中,$AB=8, BC=10$。沿对角线 $AC$ 折叠,点 $B$ 落在 $B'$ 处,$AB'$ 交 $CD$ 于点 $E$。求 $DE$ 的长。
变式
同上条件,求 $\triangle AEC$ 的面积。
试试手自己判
检测题
矩形 $ABCD$ 中,$AB=6, BC=8$。沿 $BD$ 折叠,点 $A$ 落在 $A'$ 处,$A'B$ 交 $CD$ 于 $E$。求 $BE$ 的长。
看答案和判分标准
答案:$\frac{25}{3}$
判对标准:
1. 正确识别 $\triangle BDE$ 为等腰三角形($BE=DE$)。
2. 正确设 $DE=x$,则 $BE=x, CE=6-x$。
3. 在 Rt$\triangle BCE$ 中正确应用勾股定理:$BC^2 + CE^2 = BE^2$。
4. 解方程 $8^2 + (6-x)^2 = x^2$ 得出 $x = \frac{25}{3}$。
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