检测题
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^\circ, AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 中点，$E$ 为 $AB$ 延长线上一点，$F$ 为 $AC$ 延长线上一点，且 $BE=CF$。求证：$DE \perp DF$。
答案：1. 连接 $AD$。
2. $\because AB=AC, \angle BAC=90^\circ, D$ 为 $BC$ 中点，
$\therefore AD=BD=CD, AD \perp BC, \angle DAB = \angle DAC = 45^\circ$。
3. $\therefore \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$。
4. $\because E$ 在 $AB$ 延长线，$F$ 在 $AC$ 延长线，
$\therefore \angle DBE = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$，
$\angle DCF = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$。
5. $\therefore \angle DBE = \angle DCF$。
6. 在 $\triangle DBE$ 和 $\triangle DCF$ 中：
$BD=CD$
$\angle DBE = \angle DCF$
$BE=CF$
7. $\therefore \triangle DBE \cong \triangle DCF$ (SAS)。
8. $\therefore \angle BDE = \angle CDF$。
9. $\because \angle BDC = 180^\circ$，
$\therefore \angle EDF = \angle EDC + \angle CDF = \angle EDC + \angle BDE = \angle BDC = 180^\circ$？
更正逻辑：
$\angle EDF = \angle EDA + \angle ADF$ 这种思路较难。
应利用 $\angle BDE = \angle CDF$。
$\angle EDF = \angle EDC + \angle CDF$ 不对，$E,D,F$ 位置关系需明确。
正确推导：
$\angle EDF = \angle EDB + \angle BDC + \angle CDF$? 不，$D$ 在 $BC$ 上。
$\angle EDF = \angle EDA + \angle ADF$。
由 $\triangle DBE \cong \triangle DCF$ 得 $\angle BDE = \angle CDF$。
$\angle EDF = \angle EDC + \angle CDF$ (若 $F$ 在 $AC$ 延长线，$E$ 在 $AB$ 延长线，则 $E,D,F$ 构成三角形)。
实际上，$\angle BDE + \angle EDA = 90^\circ$ (因为 $\angle ADB=90^\circ$)。
$\angle CDF + \angle FDA = 90^\circ$ (因为 $\angle ADC=90^\circ$)。
因为 $\angle BDE = \angle CDF$，
所以 $\angle EDA = 90^\circ - \angle BDE = 90^\circ - \angle CDF = \angle FDA$。
这似乎没直接证出垂直。
重新审视题目与证明：
目标：$DE \perp DF$，即 $\angle EDF = 90^\circ$。
已知：$\triangle DBE \cong \triangle DCF$ (SAS)。
$\therefore DE=DF, \angle BDE = \angle CDF$。
$\angle EDF = \angle EDC + \angle CDF$。
注意 $B,D,C$ 共线。
$\angle EDC = 180^\circ - \angle BDE$。
$\therefore \angle EDF = (180^\circ - \angle BDE) + \angle CDF$。
因为 $\angle BDE = \angle CDF$，
$\therefore \angle EDF = 180^\circ$。这说明 $E,D,F$ 共线？
检查题目条件：
$E$ 在 $AB$ 延长线，$F$ 在 $AC$ 延长线。
$\angle DBE = 135^\circ, \angle DCF = 135^\circ$。
$\triangle DBE \cong \triangle DCF$ 成立。
$\angle BDE = \angle CDF$。
$D$ 是 $BC$ 中点。
$\angle BDC = 180^\circ$。
$\angle EDF = \angle EDB + \angle BDC + \angle CDF$? 不，$E$ 和 $F$ 在 $BC$ 同侧还是异侧？
$AB \perp AC$，$E$ 在 $AB$ 延长线，$F$ 在 $AC$ 延长线。
$E$ 和 $F$ 都在 $\triangle ABC$ 外部。
$D$ 在 $BC$ 上。
$\angle EDF = \angle EDA + \angle ADF$。
由全等知 $\angle BDE = \angle CDF$。
$\angle EDA = \angle ADB - \angle BDE = 90^\circ - \angle BDE$。
$\angle ADF = \angle ADC - \angle CDF = 90^\circ - \angle CDF$。
$\therefore \angle EDA = \angle ADF$。
这只能说明 $AD$ 平分 $\angle EDF$，不能说明 $\angle EDF = 90^\circ$。
判对标准：
1. 正确证明 $\triangle ABE \cong \triangle BCF$ (3分)。
2. 得出 $\angle BAE = \angle CBF$ (2分)。
3. 利用互余关系推导出交角为 90 度 (5分)。
4. 逻辑清晰，步骤完整 (2分)。