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3.1 平移

一次函数 · 初二
讲清楚它是什么

定义 在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这种图形运动称为平移。

从哪来 本节为初二数学第1讲起点,图谱中未记录前置知识点,故基于学生已有的“图形位置与大小”直观认知直接引入。

为什么 平移的本质是“刚体运动”,即图形内部任意两点间的距离和角度保持不变。因为所有点都沿同一方向、移动同一距离,所以图形的形状和大小完全不变,仅位置发生改变。这是理解后续旋转、对称等变换的基础,体现了“变”与“不变”的辩证关系。

生活实例法
适合形象思维强、抽象能力较弱的学生。 展示电梯上下运行、抽屉拉开、传送带运送物品、推拉窗滑动等视频或实物。强调“整体移动”、“方向一致”、“距离相同”三个特征。让学生用手势模拟平移,感受“没有旋转、没有翻转”。
坐标代数法
适合逻辑推理能力强、偏好代数工具的学生。 在直角坐标系中,取点 $A(x, y)$,将其向右平移 $a$ 个单位,向上平移 $b$ 个单位,得到 $A'(x+a, y+b)$。通过推导说明:平移不改变线段长度(利用距离公式验证),不改变角度(利用斜率或向量夹角验证)。建立“点动带线、线动带面”的代数模型。
动态几何演示法
适合空间想象力好、喜欢探究规律的学生。 使用 GeoGebra 或几何画板,拖动图形进行平移。让学生观察:对应点连线是否平行且相等?对应线段是否平行且相等?对应角是否相等?引导学生归纳出“平移三性质”:①对应点连线平行且相等;②对应线段平行且相等;③对应角相等。
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练一道
基础题
如图,将 $\triangle ABC$ 沿 $BC$ 方向平移 3 个单位长度得到 $\triangle A'B'C'$。若 $BC = 5$,求 $BB'$ 的长度及 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 的面积关系。
变式
在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A(1,2)$、$B(3,1)$、$C(2,4)$。将 $\triangle ABC$ 向左平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,得到 $\triangle A'B'C'$。求点 $A'$ 的坐标,并判断线段 $AA'$ 与 $BB'$ 的位置关系。
试试手自己判
检测题
将线段 $AB$ 平移得到线段 $A'B'$。已知 $A(0,0)$,$B(4,0)$,$A'(2,3)$。求点 $B'$ 的坐标,并说明 $AA'$ 与 $BB'$ 的关系。
看答案和判分标准
答案:$B'(6,3)$;$AA' \parallel BB'$ 且 $AA' = BB'$。
判对标准:
1. 正确求出 $B'(6,3)$(2分);
2. 正确指出 $AA'$ 与 $BB'$ 平行且相等(2分);
3. 若仅答“平行”未答“相等”或仅答“相等”未答“平行”,得1分;
4. 若坐标错误,不得分。
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