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1.1 数据的集中趋势

数据的分析 · 初二
讲清楚它是什么

定义 描述一组数据“一般水平”或“中心位置”的统计量,主要包括平均数、中位数和众数。

从哪来 本节为统计单元起点,无前置知识点,直接基于对“数据”这一概念的基本认知展开。

为什么 现实数据往往波动大、数量多,单看个别数值无法反映整体特征。我们需要一个“代表值”来概括数据的集中位置,以便比较不同数据集或评估整体水平。平均数利用所有数据信息,中位数排除极端值干扰,众数反映最常见情况,三者从不同角度刻画“集中趋势”。

讲法
适合:逻辑性强、喜欢计算的学生 从“公平分配”引入:把全班同学的钱平均分,每人分到的就是平均数。强调它是“虚拟”的平衡点,不一定真实存在。接着引入中位数:如果有一个亿万富翁加入,平均数被拉高,不再代表“普通人”水平,此时排序后取中间值(中位数)更合理。最后引入众数:鞋店进货看哪种尺码卖得最多(众数),因为这是需求最集中的点。
讲法
适合:直观思维、喜欢生活实例的学生 用“班级身高”为例: 1. 平均身高:总身高÷人数,反映整体营养水平。 2. 中位身高:排队后站在正中间的人,代表“中等”水平,不受特别高或特别矮的人影响。 3. 众数:班里身高相同的人最多的是哪个高度,反映“主流”身高。 让学生体会:同一个班级,三个数可能不同,各有用途。
讲法
适合:抽象思维、喜欢对比分析的学生 通过“极端值敏感性”对比: - 平均数:对每个数据都敏感,极端值会显著改变它(杠杆原理)。 - 中位数:只关心排序后的位置,极端值只影响两端,不改变中间位置(稳健性)。 - 众数:只关心频率,完全忽略数值大小和顺序(分布峰值)。 引导学生根据数据特征(是否有极端值、是否重复多、是否需利用全部信息)选择指标。
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练一道
基础题
某组数据为 3, 5, 7, 9, 11。求平均数、中位数、众数。
变式
某公司10名员工月薪(单位:千元)为:5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 50。求平均数、中位数、众数,并说明哪个更能代表普通员工收入。
试试手自己判
检测题
一组数据为 2, 3, 3, 4, 10。若去掉10,平均数、中位数、众数分别如何变化?哪个指标变化最大?
看答案和判分标准
答案:- 原数据:平均数=(2+3+3+4+10)÷5=4.4;中位数=3;众数=3 - 去掉10后:数据为2,3,3,4;平均数=(2+3+3+4)÷4=3;中位数=(3+3)÷2=3;众数=3 - 变化:平均数从4.4降至3(变化1.4);中位数不变;众数不变 - 结论:平均数变化最大,说明其对极端值敏感。
判对标准:
- 正确计算原数据和新数据的三个统计量(各1分)
- 正确指出平均数变化最大(1分)
- 能简要说明原因(平均数受极端值影响)(1分)
总分4分,得3分及以上为掌握。
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