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二、简单的组合问题

数学广角——搭配(一) · 二年级
讲清楚它是什么

定义 从给定的一组对象中,不区分顺序地选取部分或全部对象进行搭配或组合的方法。

从哪来 本节为起点,无前置知识点记录。

为什么 组合的核心在于“无序性”。与排列不同,组合关注的是“谁和谁在一起”,而不是“谁在前谁在后”。在二年级阶段,通过列举法(枚举)可以直观地看到,交换两个元素的位置(如“苹果-香蕉”与“香蕉-苹果”)在组合意义下是同一个结果,因此只需列举一次,从而理解“不重复、不遗漏”的逻辑基础。

实物操作法
适合动手能力强、抽象思维较弱的学生。 准备3种不同颜色的积木(红、黄、蓝)。让学生每次拿两块积木拼在一起,问:“红+黄”和“黄+红”是两种不同的拼法吗?引导学生发现它们拼出来是一样的形状/组合,所以只算一种。通过物理操作消除“顺序”的概念,建立“组合”的直观感受。
连线图示法
适合视觉型、逻辑条理清晰的学生。 画三个点代表三个选项(如A、B、C)。让学生用线段连接任意两点。观察图形,AB和BA是同一条线段。通过几何图形中“线段无方向”的特性,直观解释为什么组合不需要考虑顺序,并训练学生有序地画出所有线段(先连A,再连B,最后连C),避免遗漏。
生活情境法
适合生活经验丰富、喜欢应用的学生。 以“搭配衣服”或“点餐”为例。比如:上衣有2件,裤子有2条。问:“穿红上衣配蓝裤子”和“穿蓝裤子配红上衣”是两种不同的穿法吗?显然不是,这是同一套衣服。利用生活常识中“搭配结果唯一”的经验,自然过渡到数学中的组合概念。
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练一道
基础题
小明有3种水果:苹果、香蕉、橘子。他每次选2种水果吃,一共有多少种不同的选法?
变式
4个小朋友(甲、乙、丙、丁)互相握手,每两人握一次手,一共要握多少次手?
看解答过程
1. 固定选苹果:苹果+香蕉,苹果+橘子。(2种) 2. 固定选香蕉(苹果已选过,不重复):香蕉+橘子。(1种) 3. 固定选橘子(前两者已选过):无新增。 4. 合计:2 + 1 = 3种。
试试手自己判
检测题
从数字1、2、3、4中,每次选出2个不同的数字组成一个两位数(注意:这里考察的是组合思维,即不考虑顺序,只问“哪两个数字被选中”),一共有多少种选法? *(注:此题旨在检测学生是否理解“组合”是选对象而非排顺序。若学生回答12种,则混淆了排列;若回答6种,则掌握组合。)
看答案和判分标准
答案:6种。
判对标准:
1. 学生能列出:12, 13, 14, 23, 24, 34(或类似无序对)。
2. 学生能解释为什么12和21算同一种(因为都是选了1和2这两个数字)。
3. 最终数量为6。
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