定义 两圆公切线是同时与两个圆相切的直线，其条数由两圆位置关系决定，共4、3、2、1、0五种情况。
从哪来 本节为图谱起点，无前置知识点记录。需基于“直线与圆的位置关系”及“两圆位置关系的判定”这一隐含基础进行教学。
为什么 公切线的存在取决于两圆能否被一条直线同时“夹住”或“包裹”。
1. 分离状态（外离）：两圆完全分开，中间有间隙，上下各有一条外切线，中间有两条交叉的内切线，共4条。
2. 接触状态（外切）：两圆在一点接触，两条内切线重合为过切点且垂直于连心线的直线，外切线仍存在，共3条。
3. 相交状态：两圆部分重叠，无法画出内切线（因为内切线需穿过两圆之间，但相交处无空间），仅剩上下两条外切线，共2条。
4. 包含状态（内切）：小圆在大圆内且接触，无法画出外切线（外切线需两圆在直线同侧，但内切时无法同时相切），仅剩一条过切点且垂直于连心线的公切线，共1条。
5. 包含状态（内含）：小圆完全在大圆内且无接触，任何直线都无法同时与两圆相切，共0条。
核心逻辑：内公切线要求两圆在直线异侧，外公切线要求两圆在直线同侧。相交和内含破坏了这种几何可能性。
讲法
直观演示法
适合
视觉型、空间想象力较弱的学生。
使用两个不同大小的圆形硬纸板（或硬币），在桌面上移动它们，用直尺模拟公切线。
1. 将两圆分开（外离），让学生数出能放下的直尺数量（4条）。
2. 让两圆外切，观察中间那条直尺的变化（3条）。
3. 让两圆相交，尝试放中间的直尺，发现放不进去（2条）。
4. 将小圆放入大圆内（内切/内含），尝试放直尺，发现只能放一条或放不进（1条/0条）。
通过物理操作建立“位置关系”与“线条数”的肌肉记忆。
讲法
代数判定法
适合
逻辑型、擅长计算的学生。
引入圆心距 $d$ 与半径 $R, r$ ($R \ge r$) 的关系：
- $d > R + r$ (外离) $\rightarrow$ 4条
- $d = R + r$ (外切) $\rightarrow$ 3条
- $|R - r| < d < R + r$ (相交) $\rightarrow$ 2条
- $d = |R - r|$ (内切) $\rightarrow$ 1条
- $d < |R - r|$ (内含) $\rightarrow$ 0条
强调：判断公切线条数，本质是判断 $d$ 与 $R+r$ 及 $|R-r|$ 的大小关系。这是将几何问题转化为代数不等式问题的典型应用。
对称性分析法**
适合**抽象思维强、喜欢探究原理**的学生。
从对称性角度解释：
- **外公切线
两圆关于连心线对称，若存在一条外公切线，必存在另一条对称的外公切线。因此外公切线要么0条（内含），要么2条（其他情况）。
-
内公切线：两圆关于连心线中点中心对称（仅当半径相等时严格成立，但拓扑性质类似）。内公切线要求两圆在直线异侧。
- 若两圆相交或内含，无法找到一条直线使两圆分居两侧且同时相切。
- 若两圆外离或外切，可以找到。
- 外切时，两条内公切线重合为一条。
结论：外公切线恒为偶数（0或2），内公切线决定总数。