定义 椭圆上任意一点到焦点的距离，用该点横坐标及离心率表示的代数式。
从哪来 基于 1.3 第二定义（离心率定义） 和 3.4 准线 推导得出，同时依赖 2.1 焦点在x轴上 的标准方程形式。
为什么 根据第二定义，椭圆上点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离 $|PF|$ 等于它到对应准线 $l$ 的距离 $d$ 乘以离心率 $e$，即 $|PF| = e \cdot d$。
若焦点在 $x$ 轴，右焦点 $F_2(c,0)$ 对应右准线 $x = \frac{a^2}{c}$。
点 $P(x,y)$ 到右准线的距离 $d = \frac{a^2}{c} - x$（因 $x < a < \frac{a^2}{c}$）。
代入得 $|PF_2| = e(\frac{a^2}{c} - x) = \frac{c}{a}(\frac{a^2}{c} - x) = a - ex$。
同理，左焦点 $F_1$ 对应左准线，距离为 $x - (-\frac{a^2}{c})$，故 $|PF_1| = a + ex$。
本质是将几何距离转化为代数坐标运算，利用 $e=c/a$ 消去参数。
讲法
适合：逻辑推理型、喜欢从定义出发的学生
讲法：定义推导法
1. 复习第二定义：$|PF| = e \cdot d$。
2. 画出椭圆，标出右焦点 $F_2$ 和右准线 $l_2$。
3. 设点 $P(x,y)$，写出 $P$ 到 $l_2$ 的距离 $d = x_{l2} - x_P = \frac{a^2}{c} - x$。
4. 代入公式：$|PF_2| = e(\frac{a^2}{c} - x)$。
5. 利用 $e = \frac{c}{a}$ 化简：$\frac{c}{a} \cdot \frac{a^2}{c} - \frac{c}{a}x = a - ex$。
6. 强调：这是“焦半径”与“横坐标”的线性关系。
讲法
适合：记忆型、喜欢口诀和快速解题的学生
讲法：口诀记忆法
1. 给出结论：
- 左焦半径：$r_1 = a + ex$
- 右焦半径：$r_2 = a - ex$
2. 口诀：“
左加右减，同号为正”（注：此处“同号”指焦点与准线在坐标轴同侧，通常默认焦点在x轴）。
- 更通俗口诀：
“谁近谁减，谁远谁加”。
- 点 $P$ 靠近右焦点，用右焦半径公式 $a-ex$（减）；
- 点 $P$ 远离右焦点（即靠近左焦点），用左焦半径公式 $a+ex$（加）。
3. 验证：当 $P$ 为右顶点 $(a,0)$ 时，$r_2 = a - e(a) = a - c$，正确；$r_1 = a + ea = a + c$，正确。
讲法
适合：空间想象弱、需要直观验证的学生
讲法：特值验证法
1. 不直接推导，先给结论 $r = a \pm ex$。
2. 选取三个特殊点验证：
- 右顶点 $(a,0)$：到右焦点距离应为 $a-c$。公式 $a - e(a) = a - \frac{c}{a}a = a-c$。✓
- 左顶点 $(-a,0)$：到右焦点距离应为 $a+c$。公式 $a - e(-a) = a + c$。✓
- 上顶点 $(0,b)$：到右焦点距离应为 $a$（由勾股定理 $\sqrt{b^2+c^2}=a$）。公式 $a - e(0) = a$。✓
3. 结论：公式在关键点成立，且是一次函数，故对所有点成立。