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2. 跳步得分

高考数学答题规范与评分细则 · 高三
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 在分步计数中,若某一步骤内部包含多个子步骤,需先算出该步总数再代入乘法原理。

从哪来 建立在“1. 分步得分原则”之上。

为什么 分步计数原理(乘法原理)要求每一步的选择数是独立的且确定的。当某一步骤本身由多个连续动作组成时,该步骤的“选择数”并非单一数值,而是该步骤内部所有子步骤选择数的乘积。跳步得分即是将内部复杂的子步骤“打包”为一个整体数值,以便与外部步骤进行乘法运算,确保逻辑层级清晰,避免重复或遗漏。

讲法
适合:逻辑直观型学生 讲法:打包法 想象你在组装电脑。第一步选机箱(3种),第二步选内部组件(CPU 4种 × 内存 2种)。你不能直接把3、4、2三个数相乘而不加括号,因为“选内部组件”是一个大步骤。先算出内部组件有 $4 \times 2 = 8$ 种组合,再把这8种看作“第二步”的总数,最后 $3 \times 8 = 24$。这就是跳步:把内部细节跳过去,只取结果。
讲法
适合:代数抽象型学生 讲法:变量替换法 设总方案数为 $N$。若过程分为 $A$、$B$ 两步,其中 $B$ 步由 $b_1, b_2$ 两个子步组成。 错误逻辑:$N = A \times b_1 \times b_2$(看似正确,但混淆了层级)。 正确逻辑:令 $B_{total} = b_1 \times b_2$,则 $N = A \times B_{total}$。 “跳步”本质是定义中间变量 $B_{total}$,将嵌套结构扁平化,符合乘法结合律,但强调了步骤的独立性边界。
讲法
适合:易混淆型学生 讲法:反例对比法 对比“分步”与“分类”。 - 分步:做A 且 做B。(乘法) - 分类:做A 或 做B。(加法) 跳步得分常错在把“内部子步骤”当成“分类”。 例:从甲地到乙地有2条路,每条路上有3个加油站。 - 若问“选一条路并选一个加油站”:这是分步。路(2) × 站(3) = 6。 - 若问“选一条路”:这是1步。 - 若问“选一个加油站”:这是1步。 跳步得分强调:只有当子步骤必须连续发生且共同构成一个大步骤时,才先内部相乘,再与外部相乘。
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练一道
基础题
从书架上取书。书架分两层,上层有5本不同的书,下层有4本不同的书。若要求从上层取1本,再从下层取1本,共有多少种取法?
变式
某班级选举班长和副班长。候选人有5人,且班长和副班长不能由同一人担任。问共有多少种选举结果?
试试手自己判
检测题
从A地到B地有3条公路,从B地到C地有2条铁路。若要求从A地经B地到C地,且全程只能选一条公路和一条铁路,共有多少种走法?
看答案和判分标准
答案:$3 \times 2 = 6$ 种。
判对标准:
学生需明确写出“第一步选公路(3种)”、“第二步选铁路(2种)”,并应用乘法原理得出6。若写成 $3+2=5$ 或 $3^2=9$ 均判错。
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