基础题
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，求异面直线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成角。
变式
若上述正方体中，点 $P$ 在棱 $CC_1$ 上运动，求二面角 $A-BD-P$ 的大小。
1. 建系：以 $D$ 为原点，$DA, DC, DD_1$ 为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。（得分点1：建系合理，1分）
2. 坐标：设棱长为1，则 $A(1,0,0), B_1(0,1,1), B(1,1,0), C_1(0,1,1)$。（得分点2：坐标正确，2分）
3. 向量：$\vec{AB_1} = (-1, 1, 1)$，$\vec{BC_1} = (-1, 0, 1)$。（得分点3：向量计算正确，1分）
4. 公式：$\cos\theta = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}| |\vec{BC_1}|} = \frac{|1+0+1|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。（得分点4：公式及计算正确，2分）
5. 结论：所以异面直线所成角为 $\arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$。（得分点5：结论完整，1分）