检测题
在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB \perp BC$，$AB=BC=AA_1=2$，$D$ 为 $AC$ 中点。求异面直线 $A_1B$ 与 $CD$ 所成角的余弦值。
答案：$\frac{\sqrt{10}}{10}$
判对标准：
1. 正确建立坐标系或找到平行线转化（1分）。
2. 准确写出向量坐标或几何长度（1分）。
3. 正确应用向量夹角公式或余弦定理（1分）。
4. 最终结果化简正确且为正数（1分）。
*注：若学生使用几何法，需证明 $CD \parallel AB$ 错误（$CD$ 在底面，$AB$ 也在底面，不平行），正确思路应为取 $A_1C_1$ 中点 $D_1$，连接 $BD_1$，则 $A_1D_1 \parallel CD$ 且相等，转化为求 $\angle A_1BD_1$ 或利用向量。若学生错误地认为 $CD \parallel AB$ 则判错。*
*(修正：$D$ 是 $AC$ 中点，$CD$ 在底面 $ABC$ 上。$A_1B$ 是侧面对角线。取 $AB$ 中点 $E$，连接 $DE$，则 $DE \parallel BC$。此路较繁。推荐向量法。)*
*向量法复核：*
$B(0,2,0), C(0,0,0), A(2,0,0), A_1(2,0,2), D(1,0,0)$。
$\vec{A_1B} = (-2, 2, -2)$。
$\vec{CD} = (1, 0, 0)$。
$\cos \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{4+4+4} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
*等等，题目中 $AB \perp BC$，$AB=BC=2$。*
$B$ 为原点 $(0,0,0)$ 更方便。
$B(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), A_1(2,0,2)$。
$D$ 为 $AC$ 中点 $\rightarrow D(1,1,0)$。
$\vec{A_1B} = B - A_1 = (-2, 0, -2)$。
$\vec{CD} = D - C = (1, -1, 0)$。
$\vec{A_1B} \cdot \vec{CD} = -2 \times 1 + 0 + 0 = -2$。
$|\vec{A_1B}| = \sqrt{4+0+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
$|\vec{CD}| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$。
$\cos \theta = \frac{|-2|}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
*角度为 $60^\circ$。*
*重新检查题目描述：$AB \perp BC$。*
若 $B$ 为原点，$BA$ 为 $x$ 轴，$BC$ 为 $y$ 轴，$BB_1$ 为 $z$ 轴。
$B(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), A_1(2,0,2)$。
$D$ 是 $AC$ 中点 $\rightarrow D(1,1,0)$。
$\vec{A_1B} = (-2, 0, -2)$。
$\vec{CD} = (1, -1, 0)$。
点积：$-2$。
模长：$\sqrt{8}, \sqrt{2}$。
余弦值：$\frac{2}{4} = 0.5$。