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二、在平面图上标出物体的位置

分数乘除法及应用 · 六年级
讲清楚它是什么

定义 利用方向(角度)和距离两个要素,在平面图中确定并标出物体具体位置的方法。

从哪来 本节为起点,无前置知识点记录。

为什么 在平面几何中,仅知道方向(如“北偏东30度”)只能确定一条射线,物体可能在这条射线上的任意位置;仅知道距离(如“500米”)只能确定一个圆,物体可能在这个圆周上的任意位置。只有同时锁定“方向”和“距离”,两条轨迹的交点才是唯一的,从而能精确定位。这是从一维(数轴)到二维(平面)定位逻辑的自然延伸。

生活导航法
适合具象思维强、对抽象几何概念感到困难的学生。 操作:模拟手机地图导航。告诉学生:“如果你站在学校门口,我要去图书馆,光说‘往北走’你肯定找不到,因为北边有操场、有花坛;光说‘走500米’你也找不到,因为500米是个圈。必须说‘往北偏东30度方向,走500米’。”让学生在真实或模拟的校园地图上,拿着量角器和直尺,像导航一样一步步推导。强调“方向是路,距离是步数”。
极坐标雏形法
适合逻辑推理能力强、喜欢数学结构的学生。 操作:引入“雷达扫描”概念。将原点设为雷达站,方向角为扫描线,距离为信号强度对应的半径。解释为什么需要两个变量:在二维平面上,确定一个点需要两个自由度(自由度原理)。通过对比“只给角度”画出射线,“只给距离”画出圆,最后“两者结合”画出交点,从集合论的角度理解唯一性。
游戏定位法
适合注意力易分散、喜欢互动竞争的学生。 操作:玩“盲人摸象”或“藏宝图”游戏。老师给出指令(如“东偏北45度,3格”),学生在网格纸上标出点。或者反过来,学生A藏点,学生B根据A给出的方向和距离去猜。通过反复的“指令-执行-反馈”循环,让学生肌肉记忆“先定方向,再量距离”的操作顺序。
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练一道
基础题
以学校为观测点,图书馆在学校北偏东30°方向,距离400米。请在平面图上标出图书馆的位置。(比例尺:1厘米代表100米)
变式
小明从家出发,先向北偏西40°方向走200米到达书店,再从书店向正东方向走300米到达学校。请以家为原点,画出小明的行走路线,并标出书店和学校的位置。(比例尺:1厘米代表100米)
看解答过程
1. 定中心:在图上找到代表学校的点,作为原点。 2. 定方向:以正北方向(y轴正向)为始边,向东(右)旋转30°,画出一条射线。 3. 定距离:根据比例尺,400米 ÷ 100米/厘米 = 4厘米。用量角器或直尺,在刚才的射线上量取4厘米。 4. 标点:在4厘米处点一个点,并标注“图书馆”。
试试手自己判
检测题
在一张方格纸上(每格边长1厘米),以点A为观测点。点B在点A的南偏东60°方向,距离A点3厘米处。点C在点B的正北方向,距离B点2厘米处。 请画出点B和点C,并判断点C相对于点A的方向和距离。(只需定性判断方向,距离可估算或计算)
看答案和判分标准
答案:1. 点B位置:以A为中心,南偏东60°(即与正南方向夹角60°,与正东方向夹角30°),量取3厘米处为B。 2. 点C位置:从B点垂直向上(正北)量取2厘米处为C。 3. 点C相对于A: * 方向:南偏东30°(或东偏南60°)。 * 距离:$\sqrt{3^2 + (3-2)^2}$? 不对,需建立坐标系计算。 * A=(0,0)。B的坐标:x = 3*sin(60°) ≈ 2.6, y = -3*cos(60°) = -1.5。 * C的坐标:x = 2.6, y = -1.5 + 2 = 0.5。 * C在第一象限,x>0, y>0。 * 方向:北偏东 arctan(2.6/0.5) ≈ 79° 或 东偏北 arctan(0.5/2.6) ≈ 11°。 * *修正简化版答案(适合小学)*: 点B在A的右下方。点C在B的正上方2厘米。 A到B垂直向下1.5厘米(3*cos60),水平向右2.6厘米(3*sin60)。 C在B上方2厘米,所以C比B高2厘米。 C相对于A:水平距离不变(2.6厘米),垂直距离 = 1.5厘米(下) - 2厘米(上) = 0.5厘米(上)。 所以C在A的北偏东方向(具体角度约为79度,或描述为东偏北约11度)。 距离:$\sqrt{2.6^2 + 0.5^2} \approx 2.65$ 厘米。
判对标准:
1. 点B画在南偏东60°方向,且距离A为3格(或3厘米)。
2. 点C画在点B的正上方2格(或2厘米)处。
3. 能正确判断出点C在点A的东北方向(或北偏东/东偏北),且能大致估算出点C比点B更靠近A的垂直轴线(即C的纵坐标比B更接近A的纵坐标,甚至越过A的横线)。如果学生能算出具体角度或距离更好,但核心是位置关系的相对性判断正确。
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