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三、积的变化规律

三位数乘两位数 · 四年级
讲清楚它是什么

定义 一个因数不变,另一个因数乘几,积也乘几;一个因数除以几,积也除以几。

从哪来 本节为起点,无前置知识点记录,基于整数乘法运算律及乘法意义构建。

为什么 乘法本质是“几个几相加”。若一个因数(份数)不变,另一个因数(每份的数量)扩大 $n$ 倍,则总和自然扩大 $n$ 倍。例如 $3 \times 4 = 12$,若 $4$ 变为 $4 \times 2 = 8$,则变为 $3$ 个 $8$ 相加,即 $24$,正好是 $12$ 的 $2$ 倍。

生活情境法
适合形象思维强、喜欢联系实际的学生。 讲法:去超市买苹果,单价 5 元。买 2 个是 10 元。如果买 4 个(数量翻倍),总价是多少?10 元翻倍是 20 元。如果买 10 个(数量是 2 的 5 倍),总价就是 10 元的 5 倍,即 50 元。引导学生发现:单价不变,数量变几倍,总价就变几倍。
算式对比法
适合逻辑推理能力强、喜欢找规律的学生。 讲法:列出三组算式: $2 \times 3 = 6$ $2 \times 6 = 12$ (因数 3 乘 2,积 6 也乘 2) $2 \times 12 = 24$ (因数 3 乘 4,积 6 也乘 4) 让学生观察:第一个因数 2 没变,第二个因数怎么变,积就怎么变。再反向验证除法情况。
图形面积法
适合空间想象力好、视觉型的学生。 讲法:画一个长方形,长 2 厘米,宽 3 厘米,面积 6 平方厘米。保持长 2 厘米不变,把宽拉长到 6 厘米(宽乘 2),面积变成 12 平方厘米(面积乘 2)。直观展示“一边不变,另一边变几倍,面积就变几倍”。
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练一道
基础题
已知 $15 \times 20 = 300$,求 $15 \times 40 = ?$
变式
已知 $A \times B = 80$,求 $(A \times 5) \times (B \div 5) = ?$
试试手自己判
检测题
已知 $25 \times 40 = 1000$,不计算,直接写出 $25 \times 80 \times 5$ 的结果。
看答案和判分标准
答案:$25 \times 80$ 中,25 不变,40 变 80(乘 2),积变 2000。 再乘 5,相当于再乘 5,积变 $2000 \times 5 = 10000$。 或者:$25 \times 40 = 1000$,$25 \times 80 = 2000$,$2000 \times 5 = 10000$。
判对标准:
1. 能识别出 40 到 80 是乘 2,积应乘 2 得 2000。
2. 能识别出最后还有一个乘 5,积应再乘 5。
3. 最终结果为 10000。
若学生直接算出 10000 且过程合理,即判对。
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