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三、田忌赛马中的对策问题

数学广角——优化 · 四年级
讲清楚它是什么

定义 通过调整出场顺序,以弱胜强,实现整体利益最大化的策略思维。

从哪来 本节为起点,无前置知识点记录。

为什么 在双方实力总量相当或己方略处劣势时,若按常规“强对强、中对中、弱对弱”的硬碰硬策略,往往因局部劣势导致整体失败。对策的核心在于“错位竞争”:用己方最强项去消耗对方最强项(或确保己方优势项不被对方优势项压制),用己方中等项去击败对方中等项,最后用己方最弱项去牺牲以换取前两场胜利。这种非对称的匹配方式,打破了局部实力的直接对比,通过全局最优解实现了整体胜利。

讲法
生活类比法 适合:形象思维强、喜欢生活实例的学生 告诉学生:“如果你有一块大石头、一块中等石头和一块小石头,对手也有同样的三块。如果大石头砸大石头,你赢不了;但如果你用小石头去砸他的大石头(故意输掉这一局),用大石头砸他的中等石头(赢),用中等石头砸他的小石头(赢),你就2:1赢了。”强调“牺牲局部,保全整体”的逻辑。
讲法
表格推演法 适合:逻辑严密、喜欢条理清晰的学生 列出田忌和齐威王的上、中、下三等马。先让学生列出所有可能的对阵组合(共6种),逐一计算胜负结果。通过对比发现,只有“下对上、上对中、中对下”这一种组合能赢。让学生直观看到,其他5种组合都是输或平,从而理解“唯一解”的重要性。
讲法
博弈对抗法 适合:竞争意识强、喜欢挑战的学生 设定情境:你是田忌的军师,齐威王已经亮出“上等马”。问学生:你出什么马?(若出上等马,平局或输;若出下等马,必输但保存实力)。接着齐威王出“中等马”,问学生出什么?(出上等马,必赢)。最后齐威王出“下等马”,问学生出什么?(出中等马,必赢)。通过步步为营的决策过程,让学生体验“后发制人”和“针对性部署”的策略感。
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练一道
基础题
田忌和齐威王赛马,双方马匹速度如下: 田忌:上等马(100km/h)、中等马(80km/h)、下等马(60km/h) 齐威王:上等马(110km/h)、中等马(90km/h)、下等马(70km/h) 规则:三局两胜。请给出田忌获胜的唯一出场顺序。
变式
甲乙两人进行乒乓球比赛,每人有3个球拍,质量分别为A(优)、B(中)、C(劣)。已知甲的A比乙的A好,甲的B比乙的B好,甲的C比乙的C好。但乙的A比甲的B好,乙的B比甲的C好。若乙先出A,甲应如何安排球拍顺序才能确保获胜?
看解答过程
1. 分析实力差距:田忌每匹马都比齐威王同等级马慢10km/h,硬拼必输。 2. 策略制定: - 第一局:齐威王出上等马(110),田忌出下等马(60)。结果:田忌输。 - 第二局:齐威王出中等马(90),田忌出上等马(100)。结果:田忌赢。 - 第三局:齐威王出下等马(70),田忌出中等马(80)。结果:田忌赢。 3. 总比分:田忌2:1胜。
试试手自己判
检测题
小明的三张牌是:10、8、6。小红的三张牌是:9、7、5。规则是三局两胜,每局各出一张牌,大者胜。小明先出牌,他应该出哪张牌才能确保获胜?
看答案和判分标准
答案:6
判对标准:
1. 学生回答“6”得满分。
2. 若学生回答“10”或“8”,判错。
3. 若学生能解释“用6去消耗小红的9,然后用10赢7,用8赢5”,即使顺序表述略有差异,只要逻辑正确,也可酌情给分,但核心必须是“最小牌对最大牌”。
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