1.1 什么是"找次品"

讲清楚它是什么

定义　在若干外观相同的物品中，利用天平称量，找出其中唯一一件质量不同（偏重或偏轻）的物品。

从哪来　本知识点建立在1.3 列举策略之上。学生需先掌握如何有序、不重不漏地列出所有可能的称量方案，才能从中筛选出最优解；同时结合2.1 假设策略，在称量前预设“哪边重”或“哪边轻”的逻辑分支，从而缩小嫌疑范围。

为什么　“找次品”的核心逻辑是信息熵最大化与排除法。 1. 排除法原理：天平只有三种状态（左重、右重、平衡）。每次称量，我们实际上是在获取“次品在哪一组”的信息。 2. 最优策略原理：为了让称量次数最少，必须让每次称量后，剩余嫌疑物品的数量尽可能少且均衡。 - 若将物品分为 A、B、C 三组，天平称 A 和 B。 - 若平衡，次品在 C；若不平衡，次品在 A 或 B。 - 为了最坏情况下（Worst Case）次数最少，A、B、C 的数量应尽量接近。数学上证明，将物品分成 3 份（每份数量尽量相等）是使 $3^n \ge N$（n为次数，N为物品数）成立的最小 n 值对应的策略。 - 因此，“三分法”比“二分法”或“四分法”更高效，因为它利用了天平的三种状态，而非仅仅两种（有/无）。

实物操作法** **适合类型

直观思维强、动手能力强、抽象逻辑稍弱的学生。操作：准备 9 个相同的小球（8 个正常，1 个稍重）。让学生分组，每组 3 个。第一次称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的那组。第二次从嫌疑组中任取 2 个称，若平衡，剩下的是次品；若不平衡，重的是次品。通过亲手操作，让学生感受“分组”和“排除”的过程，建立“3 的倍数”与“2 次称量”的直觉联系。

逻辑树图法** **适合类型

逻辑推理能力强、喜欢结构化思维的学生。操作：在黑板上画出决策树。根节点是“9 个物品”。第一层分支是“称量结果”：左重、右重、平衡。每个分支下再细分。 - 左重：嫌疑范围缩小到左边 3 个。 - 右重：嫌疑范围缩小到右边 3 个。 - 平衡：嫌疑范围缩小到未称的 3 个。无论走哪条路，下一步都是面对 3 个物品。再画第二层分支，最终所有路径都指向唯一解。让学生看到，无论运气好坏，最多只需 2 步就能锁定目标，强调“最坏情况下的最优解”。

逆向推导法** **适合类型

数学基础扎实、喜欢挑战规律的学生。操作：不直接给 9 个，而是问：“如果只称 1 次，最多能解决几个物品？”（答：3 个，因为 3 种结果对应 3 个位置）。“如果称 2 次呢？”（答：$3 \times 3 = 9$ 个）。“如果称 3 次呢？”（答：$3 \times 3 \times 3 = 27$ 个）。引导学生发现规律：称量次数 $n$ 与最大可解决物品数 $N$ 的关系是 $N \le 3^n$。反过来，已知 $N$，求最小 $n$，就是求 $\lceil \log_3 N \rceil$。这种方法跳过了具体操作，直接建立数学模型，适合高阶思维训练。

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练一道

基础题

有 9 个外观相同的乒乓球，其中 1 个是次品（比正品重）。用天平称，至少称几次能保证找出次品？

变式

有 27 个外观相同的零件，其中 1 个是次品（比正品轻）。用天平称，至少称几次能保证找出次品？

看解答过程

1. 分组：将 9 个球平均分成 3 组，每组 3 个（A 组、B 组、C 组）。 2. 第一次称量：将 A 组和 B 组放在天平两端。 - 情况 1：天平平衡。说明次品在 C 组。 - 情况 2：天平不平衡。说明次品在较重的那一组（假设 A 组重，则次品在 A 组）。 - 结论：无论哪种情况，次品范围都缩小到了 3 个球。 3. 第二次称量：从嫌疑的 3 个球中任取 2 个（设为球 1、球 2），放在天平两端。 - 情况 1：天平平衡。说明剩下的球 3 是次品。 - 情况 2：天平不平衡。说明较重的那个球是次品。 - 结论：第二次称量后，一定能找出次品。 最终答案：至少称 2 次。

试试手自己判

检测题

有 20 个外观相同的硬币，其中 1 个是次品（比正品重）。用天平称，至少称几次能保证找出次品？请写出第一次称量时，天平两端各放多少个硬币，以及剩下的多少个硬币。

看答案和判分标准

答案：至少称 3 次。第一次称量：天平两端各放 7 个硬币，剩下 6 个硬币。
判对标准：
1. 次数正确：回答“3 次”得 1 分。（依据：$3^2=9 < 20 \le 27=3^3$，故需 3 次）
2. 分组策略正确：回答“两端各 7 个，剩 6 个”得 2 分。
- 若回答“两端各 10 个”，判错。因为若不平衡，嫌疑范围变为 10 个，而 $10 > 9$，意味着后续可能需要 3 次才能解决 10 个，总次数可能变成 4 次，不保证 3 次内完成。
- 若回答“两端各 6 个，剩 8 个”，判错。因为若平衡，嫌疑范围 8 个，虽 8 个只需 2 次，但若不平衡，嫌疑范围 6 个，也只需 2 次。看似可行，但需验证：6 个需 2 次，8 个需 2 次。等等，8 个物品找次品：分 3,3,2。称 3,3。若平衡，剩 2 个，再称 1 次（共 2 次）。若不平衡，剩 3 个，再称 1 次（共 2 次）。所以 8 个确实只需 2 次。
- 修正判对标准：
- 核心是最坏情况下的次数。
- 方案 1：7,7,6。若不平衡，剩 7 个。7 个物品找次品：分 3,3,1。称 3,3。若平衡，剩 1 个（0 次）。若不平衡，剩 3 个（1 次）。所以 7 个需 2 次。总次数 1+2=3 次。
- 方案 2：6,6,8。若平衡，剩 8 个。8 个物品：分 3,3,2。称 3,3。若平衡，剩 2 个（1 次）。若不平衡，剩 3 个（1 次）。所以 8 个需 2 次。总次数 1+2=3 次。
- 方案 3：10,10,0。若不平衡，剩 10 个。10 个物品：分 4,4,2。称 4,4。若平衡，剩 2 个（1 次）。若不平衡，剩 4 个。4 个物品：分 2,2,0。称 2,2。若平衡，无解（不可能，因为次品必在其中）。若不平衡，剩 2 个（1 次）。所以 4 个需 2 次。10 个需 1+2=3 次。总次数 1+3=4 次。
- 结论：7,7,6 和 6,6,8 都是 3 次。但通常教材推荐尽量平均分，7,7,6 更接近平均。
- 最终判对标准：
1. 次数为 3 次。
2. 第一次分组为 7,7,6 或 6,6,8 或 8,8,4（8,8,4：若不平衡剩 8 个，需 2 次，总 3 次；若平衡剩 4 个，需 2 次，总 3 次。也可）。
3. 只要保证最大嫌疑组的数量 $\le 9$，即为正确。因为 9 个以内只需 2 次。
4. 若学生回答 2 次，直接判错。

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