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4.3 轨道速度

原子的核式结构模型与玻尔理论 · 高二
讲清楚它是什么

定义 物体在圆轨道上做匀速圆周运动时,线速度的大小,由中心天体质量与轨道半径决定。

从哪来 本节为起点,无前置知识点记录。

为什么 卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力完全提供向心力。根据牛顿第二定律 $G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$,化简得 $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$。这说明轨道速度仅取决于中心天体质量 $M$ 和轨道半径 $r$,与卫星自身质量 $m$ 无关。半径越小,引力越大,需要的向心力越大,因此速度越快。

类比法
适合形象思维强、抽象逻辑较弱的学生。 想象你在甩绳子拴着的小球。绳子越短(半径 $r$ 小),你甩得越快(速度 $v$ 大),小球才不容易飞出去;绳子越长,甩得慢一点也能稳住。卫星就是被“引力绳子”拴住的小球,离地球越近,引力“绳子”拉得越紧,必须跑得越快才能不掉下来。
公式推导法
适合逻辑严密、擅长数学推导的学生。 直接从受力分析入手。列出万有引力公式 $F = G\frac{Mm}{r^2}$ 和向心力公式 $F = m\frac{v^2}{r}$。因为两者相等,所以 $G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$。两边消去 $m$ 和一个 $r$,直接解出 $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$。强调这是一个纯数学关系的必然结果,不依赖直觉。
能量视角法
适合物理直觉好、喜欢从本质理解的学生。 从能量角度理解:近地轨道势能低,为了维持轨道不坠入地球,动能必须大;远地轨道势能高,动能可以小。总机械能守恒(在特定轨道上),半径越小,势能越负,动能越大,速度越快。这解释了为什么发射卫星到更高轨道需要消耗更多燃料(增加势能),但一旦到达高轨道,其运行速度反而比低轨道慢。
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练一道
基础题
已知地球质量 $M = 6.0 \times 10^{24} \text{kg}$,引力常量 $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$,地球半径 $R = 6.4 \times 10^6 \text{m}$。求近地卫星(轨道半径近似为 $R$)的轨道速度。
变式
两颗卫星分别绕地球做匀速圆周运动,轨道半径之比为 $r_1 : r_2 = 1 : 4$。求它们的轨道速度之比 $v_1 : v_2$。
试试手自己判
检测题
若某行星的质量是地球的 4 倍,半径是地球的 2 倍,则在该行星表面附近做圆周运动的卫星,其轨道速度是地球近地卫星轨道速度的多少倍?
看答案和判分标准
答案:$\sqrt{2}$ 倍
判对标准:
1. 正确写出速度公式 $v = \sqrt{GM/r}$。
2. 正确代入比例关系:$v' / v = \sqrt{(M'/M) / (r'/r)} = \sqrt{4 / 2} = \sqrt{2}$。
3. 最终答案为 $\sqrt{2}$ 或约 1.414。若答案为 2 或 0.5 等,则判错。
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