定义 描述氢原子中电子在不同定态轨道上能量取值的数学表达式，揭示了能级分立且随主量子数增大而趋近零的特性。
从哪来 本节为高二物理选修3-5（或新教材选择性必修3）原子物理部分的起点，不依赖其他前置知识点，直接基于玻尔原子模型假设建立。
为什么 根据玻尔理论，电子在原子核库仑引力作用下做圆周运动，向心力由库仑力提供。结合经典力学公式 $F = m\frac{v^2}{r}$ 和 $F = k\frac{e^2}{r^2}$，可推导出轨道半径 $r_n \propto n^2$ 和速度 $v_n \propto 1/n$。电子的总能量 $E_n$ 等于动能与电势能之和（$E = E_k + E_p$，其中 $E_p = -2E_k$），代入上述关系后，总能量仅与主量子数 $n$ 有关，且 $E_n \propto -1/n^2$。负号表示电子被束缚在原子核周围，能量越低（绝对值越大）状态越稳定。
适合类型：逻辑推导型学生**
**讲法：** 从经典力学出发，一步步推导。
1. **力学平衡
$k\frac{e^2}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \Rightarrow mv^2 = k\frac{e^2}{r}$。
2.
能量定义：$E_n = \frac{1}{2}mv^2 - k\frac{e^2}{r}$。
3.
代换：将 $mv^2$ 替换为 $k\frac{e^2}{r}$，得 $E_n = \frac{1}{2}k\frac{e^2}{r} - k\frac{e^2}{r} = -\frac{1}{2}k\frac{e^2}{r}$。
4.
引入量子化：根据角动量量子化 $mvr = n\hbar$，结合第1步可得 $r_n = \frac{n^2\hbar^2}{mke^2}$。
5.
最终结果：代入 $r_n$ 得到 $E_n = -\frac{mke^4}{2\hbar^2 n^2}$。
核心逻辑：能量由半径决定，半径由量子数决定，故能量由量子数决定。
适合类型：图像直观型学生**
**讲法：** 使用“能级阶梯图”进行可视化教学。
1. **画轴
纵轴为能量 $E$，横轴无物理意义，仅表示不同状态。
2.
标基态：最下方画一条线，标记 $n=1$，能量为 $-13.6 \text{ eV}$。强调这是“谷底”，能量最低，最稳定。
3.
标激发态：向上依次画 $n=2 (-3.4 \text{ eV})$, $n=3 (-1.51 \text{ eV})$, $n=4 (-0.85 \text{ eV})$。
4.
标电离：在 $E=0$ 处画虚线，表示电子脱离原子核束缚。
5.
观察规律：引导学生观察，$n$ 越大，能级越密；$n \to \infty$ 时，$E \to 0$。
核心逻辑：能量是“台阶”，不能站在两个台阶之间；台阶越高（$n$ 越大），能量越高（负得越少），越容易跳出去（电离）。
适合类型：记忆口诀型/应试型学生**
**讲法：** 提供万能公式和记忆锚点。
1. **核心公式
$E_n = \frac{E_1}{n^2}$。
2.
锚点数值：死记 $E_1 = -13.6 \text{ eV}$。
3.
快速计算：
* $n=1: -13.6$
* $n=2: -13.6/4 = -3.4$
* $n=3: -13.6/9 \approx -1.51$
* $n=4: -13.6/16 = -0.85$
4.
符号法则：基态是负的，无穷远是0。所有束缚态能量均为负值。
核心逻辑：抓住 $E \propto 1/n^2$ 和 $E_1$ 的数值，其余皆由除法得出。