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4.3 卫星运行规律

曲线运动与万有引力 · 高三
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 人造卫星在万有引力作用下,绕地球做匀速圆周运动或椭圆运动时遵循的动力学规律。

从哪来 基于 1.1 三大定律对比 中的牛顿第二定律($F=ma$)和万有引力定律,结合 1.2 运动学公式体系 中的圆周运动向心力公式($a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$)推导而来。

为什么 卫星绕地球运动时,地球对卫星的万有引力提供了卫星做圆周运动所需的向心力。 根据牛顿第二定律,$F_{\text{引}} = F_{\text{向}}$,即 $G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r = m(\frac{2\pi}{T})^2 r$。 由此可知,卫星的运动参量($v, \omega, T, a$)完全由轨道半径 $r$ 和中心天体质量 $M$ 决定,与卫星自身质量 $m$ 无关。这就是“高轨低速长周期,低轨高速短周期”的根本原因。

讲法
模型构建法 适合逻辑严密、喜欢推导的学生。 直接列出核心方程 $G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$,消去 $m$,得到 $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$。强调这是一个函数关系:$r$ 是自变量,$v$ 是因变量。让学生自己推导 $\omega$、$T$、$a$ 与 $r$ 的关系,形成完整的“半径-参量”对照表。
讲法
生活类比法 适合形象思维强、抽象概念困难的学生。 用“甩绳子”类比:手握绳子(中心天体)甩动小球(卫星)。绳子越长(半径 $r$ 大),为了不让球飞出去,手甩的速度($v$)必须越慢,否则绳子会断(引力不足);反之,绳子短,手甩得快,球才稳。直观理解 $r$ 越大,$v$ 越小。
讲法
对比记忆法 适合应试导向、需要快速解题的学生。 给出口诀:“高轨低速长周期,低轨高速短周期”。 重点辨析: - $v, \omega, a$ 随 $r$ 增大而减小; - $T$ 随 $r$ 增大而增大。 做题时先判断半径大小,再直接套用结论,避免现场推导出错。
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练一道
基础题
已知地球半径为 $R$,地表重力加速度为 $g$。求近地卫星(轨道半径 $r \approx R$)的线速度 $v_1$ 和周期 $T_1$。
变式
两颗卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动,轨道半径之比 $r_A : r_B = 1 : 8$。求它们的线速度之比 $v_A : v_B$ 和周期之比 $T_A : T_B$。
试试手自己判
检测题
某卫星在半径为 $r$ 的圆轨道上运行,若将其轨道半径增大到 $2r$,则其线速度变为原来的多少倍?周期变为原来的多少倍?
看答案和判分标准
答案:线速度变为原来的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍(或 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍);周期变为原来的 $2\sqrt{2}$ 倍。
判对标准:
1. 线速度比值正确得 1 分(需体现 $v \propto r^{-1/2}$ 的关系);
2. 周期比值正确得 1 分(需体现 $T \propto r^{3/2}$ 的关系);
3. 若只写文字描述“变小”、“变大”但未给出具体倍数,不得分。
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