定义 物体在竖直平面内做圆周运动，受重力与约束力作用，需满足向心力方程及临界条件。
从哪来 基于 1.2 运动学公式体系 确定位置与速度关系，利用 1.1 基本物理量 定义力与加速度，结合 1.1 三大定律对比 中的牛顿第二定律（$F=ma$）建立动力学方程。
为什么 竖直圆周运动的核心矛盾在于重力方向恒定而向心方向时刻改变。
1. 动力学本质：根据牛顿第二定律，合外力在法向（指向圆心）的分量提供向心力 $F_n = m\frac{v^2}{R}$。
2. 能量视角：重力做功改变动能，机械能守恒（若无摩擦），导致速度大小随高度变化，进而导致所需向心力变化。
3. 约束限制：绳/杆模型中，约束力只能沿半径方向，且绳只能拉不能推，杆可拉可推，这决定了不同位置（最高点、最低点）的受力结构不同，从而产生不同的临界条件。
“受力分解法”——适合逻辑严密、擅长矢量分析的学生**
1. **定点分析
选取最高点、最低点、水平点三个特殊位置。
2.
受力画图：在每个点画出重力 $mg$ 和约束力 $T$（或 $N$）。
3.
列方程：
- 最高点：$mg + T = m\frac{v_{top}^2}{R}$ （绳模型，$T \ge 0$）
- 最低点：$T - mg = m\frac{v_{bot}^2}{R}$
4.
联立求解：结合机械能守恒 $ \frac{1}{2}mv_{bot}^2 = \frac{1}{2}mv_{top}^2 + mg(2R) $ 解出未知量。
*优点：物理图像清晰，通用性强，适用于任意角度。*
“等效重力场法”——适合空间想象力强、喜欢类比的学生**
1. **概念引入
将重力场视为一个“等效重力场”，但注意竖直圆周运动中重力方向不变，不能简单旋转坐标系，而是强调
重力势能与
动能的交换。
2.
能量主导：先由机械能守恒求出任意位置速度 $v = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1-\cos\theta)}$。
3.
向心力需求：计算该位置所需的向心力 $F_{req} = m\frac{v^2}{R}$。
4.
受力匹配：分析该位置重力沿半径方向的分量 $mg\cos\theta$，判断约束力 $N = F_{req} \pm mg\cos\theta$ 是否满足物理约束（如绳 $N \ge 0$）。
*优点：避免复杂的矢量分解，侧重能量与力的标量运算，计算量小。*
“临界状态逆向推导法”——适合应试技巧强、追求解题速度的学生**
1. **抓临界点
直接记住绳模型最高点临界速度 $v_{min} = \sqrt{gR}$，杆模型最高点临界速度 $v_{min} = 0$。
2.
逆向思维：
- 若题目问“能否通过最高点”，先假设能通过，算出最低点所需最小速度 $v_{bot} = \sqrt{5gR}$（绳）或 $\sqrt{2gR}$（杆）。
- 若题目问“绳断的位置”，先假设绳在最高点不断，算出最大张力，再反推其他位置。
3.
模板套用：
- 绳模型：$v_{top} \ge \sqrt{gR}$，$T_{max}$ 在最低点，$T_{max} = 6mg - T_{top}$。
- 杆模型：$v_{top} \ge 0$，$N$ 可正可负，$N_{max}$ 在最低点，$N_{max} = 5mg - N_{top}$。
*优点：快速解决选择题和填空题，但需强调其适用前提，防止滥用。*