定义 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 用于判断一元二次方程实数根的存在性及个数。
从哪来 它建立在 1.2 相关概念 之上，具体指一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 中各项系数 $a, b, c$ 的定义及其在求根公式中的位置。
为什么 一元二次方程的求根公式为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
在实数范围内，平方根 $\sqrt{A}$ 有意义的条件是被开方数 $A \ge 0$。
因此，方程是否有实数根，完全取决于根号下的部分 $b^2 - 4ac$ 的符号：
1. 若 $b^2 - 4ac > 0$，根号内为正，$\pm$ 产生两个不同的实数；
2. 若 $b^2 - 4ac = 0$，根号内为零，$\pm$ 无影响，产生两个相等的实数；
3. 若 $b^2 - 4ac < 0$，根号内为负，实数范围内无意义，故无实数根。
这就是判别式 $\Delta$ 的由来。
适合类型：逻辑推导型、喜欢探究原理的学生**
**讲法：从求根公式倒推**
直接展示求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
提问：“同学们，我们在实数范围内讨论方程，那么 $\sqrt{b^2 - 4ac}$ 什么时候有意义？”
引导学生回顾二次根式的性质：被开方数必须非负。
接着提问：“如果 $b^2 - 4ac$ 是正数、零、负数，分别对应几个解？”
让学生自己总结出 $\Delta > 0, \Delta = 0, \Delta < 0$ 的三种情况。
**核心逻辑
公式 $\rightarrow$ 根号限制 $\rightarrow$ 判别式。
适合类型：形象思维型、记忆困难的学生**
**讲法：抛物线与x轴的交点**
画出 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像。
提问：“方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，在图像上代表什么？”
回答：“抛物线与 x 轴交点的横坐标。”
展示三种图像：
1. 抛物线穿过 x 轴（两个交点） $\rightarrow$ $\Delta > 0$
2. 抛物线顶点刚好切 x 轴（一个交点） $\rightarrow$ $\Delta = 0$
3. 抛物线悬空或沉底，不碰 x 轴（无交点） $\rightarrow$ $\Delta < 0$
**核心逻辑
几何直观 $\rightarrow$ 代数符号。
适合类型：应试技巧型、追求解题速度的学生**
**讲法：口诀与符号记忆**
给出口诀：“正二零一负无根”。
解释：
- $\Delta$ 为正（Positive），有两个（Two）不同实根；
- $\Delta$ 为零（Zero），有一个（One）实根（重根）；
- $\Delta$ 为负（Negative），无（None）实根。
强调：计算 $\Delta$ 时，$b$ 要平方，$4ac$ 是整体，符号最容易错。
**核心逻辑
符号 $\rightarrow$ 根的数量。