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例题4:相似三角形的综合应用

相似三角形的判定与性质 · 初三
讲清楚它是什么

定义 利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质,解决几何图形中的线段计算、角度推导及面积比问题。

从哪来 本节为初三数学第1讲起点,基于初中阶段已掌握的“全等三角形判定与性质”、“平行线分线段成比例定理”及“三角形内角和定理”等基础几何知识构建。

为什么 相似三角形本质上是“形状相同、大小不同”的几何变换。因为对应角相等保证了图形结构的刚性(形状不变),对应边成比例保证了线性尺度的统一缩放。这种线性缩放关系使得我们可以通过已知的一组对应量(边或角),通过比例方程推导出未知的几何量,从而将复杂的几何关系转化为代数计算,这是解决非全等几何问题的核心逻辑。

模型识别法
通过展示“A字型”、“8字型(沙漏型)”、“母子型”等经典相似模型,让学生建立视觉记忆。
适合:形象思维强、擅长模式识别、对抽象推导感到困难的学生。
代数推导法
从定义出发,严格证明平行线截三角形所得的小三角形与原三角形相似,进而推导比例式。强调“角相等→相似→边成比例”的逻辑链条。
适合:逻辑思维严密、喜欢追根究底、擅长代数运算的学生。
动态几何法
利用几何画板或实物模型,拖动顶点改变三角形大小,观察角度不变而边长按比例变化的过程,直观感受“相似”的动态含义。
适合:空间想象力强、对静态图形缺乏直觉、需要动态反馈辅助理解的学生。
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练一道
基础题
如图,$\triangle ABC$ 中,$D$ 在 $AB$ 上,$E$ 在 $AC$ 上,$DE$ 与 $BC$ 不平行。若 $\angle ADE = \angle C$,且 $AD=4, AB=6, AC=9$,求 $AE$ 的长。
试试手自己判
检测题
如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $AB$ 上一点,$E$ 是 $AC$ 上一点,连接 $DE$。若 $\angle ADE = \angle B$,且 $AD=2, AB=5, AC=6$,求 $AE$ 的长。
看答案和判分标准
答案:$\frac{12}{5}$ (或 2.4)
判对标准:
1. 正确识别出 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$(注意对应关系:$A$对$A$,$D$对$B$,$E$对$C$)。
2. 正确列出比例式 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。
3. 代入数值计算正确,得出 $AE = 2.4$。
若学生列出 $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$ 则判错,因为对应关系错误。
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