检测题
如图，矩形 $ABCD$ 中，$AB=4, BC=3$。点 $P$ 在边 $BC$ 上运动，连接 $AP$。当 $\triangle ABP$ 为等腰三角形时，求 $BP$ 的长。
答案：$BP=4$ 或 $BP=2.5$。
判对标准：
1. 识别出两种情况：$AB=AP$ 和 $AB=BP$（$AP=BP$ 时 $P$ 在 $AB$ 中垂线上，即 $BC$ 中点，但 $P$ 在 $BC$ 上，$AB \perp BC$，故 $AP > BP$，此情况不存在或需验证）。
- 情况1：$AB=BP$，则 $BP=4$。但 $BC=3$，$P$ 在 $BC$ 上，$BP \le 3$，故舍去。
- 情况2：$AB=AP$，则 $AP=4$。在 Rt$\triangle ABP$ 中，$BP=\sqrt{AP^2-AB^2}=\sqrt{16-16}=0$，此时 $P$ 与 $B$ 重合，不构成三角形，舍去？
- 重新审视：$\triangle ABP$ 中，$\angle B=90^\circ$。
- 若 $AB=BP$，则 $BP=4$，但 $BC=3$，$P$ 超出 $C$ 点，不合题意。
- 若 $AB=AP$，则 $AP=4$，$BP=\sqrt{4^2-4^2}=0$，$P$ 与 $B$ 重合，不合题意。
- 若 $AP=BP$，则 $P$ 在 $AB$ 中垂线上。$AB$ 中垂线为 $x=2$（设 $B$ 为原点）。$P$ 在 $BC$ 上，$BC$ 为 $y$ 轴？不，设 $B(0,0), A(4,0), C(0,3)$。$P(0,y)$。
- $AP^2 = 4^2 + y^2 = 16+y^2$。
- $BP^2 = y^2$。
- $AB^2 = 16$。
- 等腰：
1. $AP=BP \Rightarrow 16+y^2=y^2$，无解。
2. $AB=AP \Rightarrow 16=16+y^2 \Rightarrow y=0$，$P$ 与 $B$ 重合，舍去。
3. $AB=BP \Rightarrow 16=y^2 \Rightarrow y=4$，但 $BC=3$，$P$ 超出 $C$，舍去。
- 结论：在矩形边 $BC$ 上，$\triangle ABP$ 无法构成等腰三角形？
- 修正题目：点 $P$ 在边 $CD$ 上运动。
- 新解答：
- $B(0,0), A(4,0), D(4,3), C(0,3)$。$P(x,3)$，$0 \le x \le 4$。
- $AB=4$。
- $BP^2 = x^2+9$。
- $AP^2 = (4-x)^2+9$。
- 情况1：$AB=BP \Rightarrow 16=x^2+9 \Rightarrow x^2=7 \Rightarrow x=\sqrt{7}$。$BP=\sqrt{7+9}=4$。
- 情况2：$AB=AP \Rightarrow 16=(4-x)^2+9 \Rightarrow (4-x)^2=7 \Rightarrow 4-x=\pm\sqrt{7} \Rightarrow x=4\mp\sqrt{7}$。$AP=4$。
- 情况3：$BP=AP \Rightarrow x^2+9=(4-x)^2+9 \Rightarrow x^2=16-8x+x^2 \Rightarrow 8x=16 \Rightarrow x=2$。$BP=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。
- 最终答案：$BP$ 的长为 $4$ 或 $\sqrt{13}$。
- 判对标准：学生需列出三种等腰情况，排除无解或超范围解，得出 $BP=4$（对应 $AB=BP$ 或 $AB=AP$）和 $BP=\sqrt{13}$（对应 $BP=AP$）。