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应用四：构造辅助线

相似三角形的判定与性质　·　初三
讲清楚它是什么

定义　在几何图形中，连接已知点或延长线段以构建新图形，从而将分散条件转化为集中关系的解题策略。

从哪来　本节为初三第1讲起点，无前置知识点记录，基于初中几何基础公理体系及全等/相似三角形判定定理直接构建。

为什么　几何题中已知条件往往分散在不同位置，无法直接套用判定定理。构造辅助线的本质是“搭桥”，通过添加元素（如中点、垂线、平行线）创造新的全等或相似三角形，使隐含的数量关系或位置关系显性化，从而打通从“已知”到“求证”的逻辑链条。

讲法
“缺什么补什么”策略法 适合逻辑直觉型学生。 讲解思路：观察题目条件，若缺“边相等”，则构造中点或倍长中线；若缺“角相等”，则作角平分线或平行线；若缺“直角”，则作垂线。强调辅助线不是凭空想象，而是为了凑齐判定定理所需的“三要素”（边、角、边等）。
讲法
“逆向拆解”倒推法 适合严谨推导型学生。 讲解思路：从结论出发，问“要证明A=B，需要哪个三角形全等？”，再问“要证这两个三角形全等，还缺哪个条件？”，最后看“这个缺失的条件能否通过连接某两点或延长某线段得到”。强调每一步辅助线都有明确的逻辑目的。
讲法
“模型识别”类比法 适合形象思维型学生。 讲解思路：展示经典模型图（如“手拉手”模型、“一线三等角”模型、“中位线”模型）。告诉学生，看到特定条件组合（如两个等腰三角形共顶点），脑海中直接浮现对应的辅助线连接方式（连接底边中点或对应顶点），将复杂问题转化为熟悉的图形结构。
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练一道
变式
条件*：设 $\angle BAD = 90^\circ$。 则 $\angle BAE + \angle DAF = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$。 $\therefore \angle GAE = \angle GAB + \angle BAE = \angle DAF + \angle BAE = 45^\circ$。 $\therefore \angle GAE = \angle FAE$。 7. 在 $\triangle AGE$ 和 $\triangle AFE$ 中： - $AG=AF$ - $\angle GAE = \angle FAE$ - $AE=AE$ 8. $\therefore \triangle AGE \cong \triangle AFE$ (SAS)。 9. $\therefore GE=EF$。 10. $\because GE = GB + BE = DF + BE$，$\therefore EF = BE + DF$。
试试手自己判
检测题
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 是 $BC$ 边上一点，$E$ 是 $AC$ 边上一点，且 $\angle ADE = \angle B$。 求证：$\triangle ABD \sim \triangle DCE$。
看答案和判分标准
答案：1. $\because AB=AC$，$\therefore \angle B = \angle C$。 2. $\because \angle ADC$ 是 $\triangle ABD$ 的外角，$\therefore \angle ADC = \angle B + \angle BAD$。 3. 又 $\because \angle ADC = \angle ADE + \angle CDE$，且已知 $\angle ADE = \angle B$。 4. $\therefore \angle B + \angle BAD = \angle B + \angle CDE$。 5. $\therefore \angle BAD = \angle CDE$。 6. 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle DCE$ 中： - $\angle B = \angle C$ - $\angle BAD = \angle CDE$ 7. $\therefore \triangle ABD \sim \triangle DCE$ (AA)。
判对标准：
1. 正确识别出 $\angle B = \angle C$（1分）。
2. 正确利用外角性质推导出 $\angle BAD = \angle CDE$（2分，关键步骤）。
3. 正确写出相似判定依据 AA（1分）。
4. 逻辑清晰，无跳步（1分）。
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