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4. 位似

相似三角形的判定与性质 · 初三
讲清楚它是什么

定义 两个图形不仅相似,且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行(或在同一直线上)。

从哪来 本知识点建立在“相似三角形”及“平行线分线段成比例定理”的基础之上。

为什么 位似本质是特殊的相似。若两图形位似,则对应边平行,由平行线性质可知对应角相等、对应边成比例,故必相似;反之,若两图形相似且对应顶点连线共点,则对应边必平行,从而构成位似。其核心逻辑是“位置关系(共点)+ 形状关系(相似)= 位似”。

讲法
适合:直观形象型学生 利用“投影仪”或“放大镜”类比。将位似中心比作投影仪的光源,原图形比作幻灯片,投影出的图像就是位似图形。强调光源(位似中心)、幻灯片(原图)、投影幕(位似图)三者连线必过光源,且投影大小由距离决定(位似比)。通过动态演示改变光源位置或距离,让学生直观看到图形放大、缩小或反向翻转的过程。
讲法
适合:逻辑推理型学生 从坐标几何角度切入。在平面直角坐标系中,设位似中心为原点 $O(0,0)$,位似比为 $k$。若点 $A(x,y)$ 在位似变换下变为 $A'(x',y')$,则向量 $\vec{OA'} = k \vec{OA}$,即 $x'=kx, y'=ky$。通过代数推导证明 $OA'/OA = k$ 且 $O, A, A'$ 共线,从而建立“坐标变换”与“几何位似”的严格对应关系,强调位似是线性变换的一种。
讲法
适合:空间想象困难型学生 使用“皮筋拉伸”实验。在纸上画一个三角形,用三根皮筋分别连接三角形的三个顶点到一个固定点(位似中心)。固定该点,拉动皮筋使顶点沿射线移动。观察发现:无论怎么拉,新三角形与原三角形始终相似,且对应边平行。通过物理操作验证“对应顶点连线过定点”和“对应边平行”这两个核心特征,将抽象定义具象化。
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练一道
基础题
如图,$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 位似,位似中心为 $O$,且 $OA:OA' = 1:2$。若 $\triangle ABC$ 的面积为 4,求 $\triangle A'B'C'$ 的面积。
变式
在平面直角坐标系中,$\triangle ABC$ 的顶点坐标为 $A(1,2), B(3,2), C(2,4)$。以原点 $O$ 为位似中心,位似比为 $-2$,求 $\triangle A'B'C'$ 的顶点坐标。
试试手自己判
检测题
已知 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 位似,位似中心为 $O$。若 $OA = 3$,$OA' = 9$,且 $\triangle ABC$ 的周长为 12,求 $\triangle A'B'C'$ 的周长。
看答案和判分标准
答案:36
判对标准:
1. 正确识别位似比 $k = OA'/OA = 9/3 = 3$(2分)。
2. 正确应用“周长比等于相似比”原理(2分)。
3. 计算 $12 \times 3 = 36$ 无误(1分)。
若学生误用面积比($12 \times 9 = 108$)或混淆比值方向($12 \times 1/3 = 4$),均判错。
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