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2. 特殊角值

解直角三角形及其应用 · 初三
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 指30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值,是三角函数中最基础且必须熟记的数值。

从哪来 它建立在3. 相似三角形的性质之上,通过构造特殊的直角三角形,利用对应边成比例得出。

为什么 三角函数本质是直角三角形中边长的比值。对于30°、45°、60°角,其所在的直角三角形(等腰直角三角形、含30°角的直角三角形)边长比例是固定的。根据相似三角形性质,无论三角形大小如何变化,对应边的比值(即三角函数值)保持不变,因此这些值是确定的常数。

几何推导法
画出等腰直角三角形和含30°角的直角三角形,设短边为1,利用勾股定理求出斜边,直接计算比值。
适合:空间想象力强,喜欢从图形直观理解抽象概念的学生。
口诀记忆法
提供“正弦30°是1/2,余弦30°是√3/2...”等顺口溜,配合表格反复诵读。
适合:抽象思维稍弱,但记忆力好,偏好机械记忆和快速应试的学生。
单位圆法
引入单位圆概念,将角度对应到圆上的坐标点,横坐标为余弦,纵坐标为正弦,通过几何对称性推导。
适合:数学基础扎实,逻辑思维严密,为高中学习做铺垫的优等生。
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练一道
基础题
求 $\sin 45^\circ + \cos 60^\circ$ 的值。
变式
已知 $\tan \alpha = \sqrt{3}$,且 $\alpha$ 为锐角,求 $\alpha$ 的度数及 $\sin \alpha$ 的值。
试试手自己判
检测题
计算 $\frac{\sin 60^\circ}{\cos 30^\circ} + \tan 45^\circ$ 的值。
看答案和判分标准
答案:2
判对标准:
1. 正确写出 $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 45^\circ = 1$(占分60%)。
2. 正确进行除法运算 $\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/2} = 1$(占分20%)。
3. 最终结果为 $1+1=2$(占分20%)。
若结果正确但过程缺失,判为半对;若数值记忆错误,判为错。
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