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例题1:已知两边求角

解直角三角形及其应用 · 初三
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 在三角形中,已知两条边长及其中一条边的对角,利用正弦定理求解另一未知角的过程。

从哪来 它建立在相似三角形的性质之上。正弦定理的本质是同一圆内接三角形中,边长与对应角正弦值的比值恒定,这一比例关系源于相似三角形对应边成比例及直角三角形中的三角函数定义。

为什么 因为三角形内角和为180°,且正弦函数在(0°, 180°)区间内具有对称性(sin α = sin(180°-α))。当已知两边a, b及角A时,由 a/sin A = b/sin B 可求出 sin B。由于正弦值相同可能对应两个互补的角(锐角或钝角),因此必须结合“大边对大角”原则判断角B的唯一性或存在性,这是由三角形几何结构决定的必然结果。

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练一道
基础题
在△ABC中,已知 a=5, b=4, A=60°,求角B。
变式
在△ABC中,已知 a=3, b=4, A=30°,求角B。
试试手自己判
检测题
在△ABC中,已知 a=2, b=√2, A=45°,求角B的个数。
看答案和判分标准
答案:1个。
判对标准:
1. 学生能正确计算 sin B = (√2 × sin 45°) / 2 = (√2 × √2/2) / 2 = 1/2。
2. 学生能指出 a=2 > b=√2,故 A > B。
3. 学生能得出 B 必为锐角,且 B=30°。
4. 若学生回答“2个”或“无解”,则判定为未掌握“大边对大角”在解的个数判断中的应用。
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