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题型二:平行投影计算

投影与三视图 · 初三
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 平行投影中,利用相似三角形或平行线分线段成比例定理,计算物体高度、影长或距离的几何题型。

从哪来 它建立在平行线分线段成比例定理之上。

为什么 平行投影的核心特征是光线平行。当光线照射物体时,物体顶端、底端与影子顶端构成的三角形,与另一组对应物体构成的三角形,其对应边平行(光线平行)且共线(地面),因此这两个三角形相似。根据相似三角形对应边成比例,或平行线分线段成比例定理,已知其中三个量即可求出第四个量。

直观模型法
用手电筒(模拟太阳光)照射铅笔和直尺,让学生观察影子长度变化。强调“光线平行”这一前提,画出光路图,标出两个直角三角形,直观展示“大三角形套小三角形”的结构。
适合:空间想象力较弱,需要借助实物和图形建立几何直观的学生。
代数对应法
直接列出比例式 $\frac{\text{物高}_1}{\text{影长}_1} = \frac{\text{物高}_2}{\text{影长}_2}$。强调在同一时刻、同一地点,所有物体的“高影比”是定值。通过大量数据代入练习,强化公式记忆和应用。
适合:抽象思维较强,偏好公式化、程序化解题,对几何图形敏感度一般的学生。
极端情境法
设置“太阳高度角变化”或“物体倾斜”等复杂情境,引导学生分析哪些量变了,哪些量没变。重点讲解当物体不垂直地面时,如何构造直角三角形,将实际问题转化为标准的平行投影模型。
适合:基础扎实,希望挑战综合应用题,需要提升分析复杂情境能力的学生。
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练一道
基础题
某时刻,一根1.5米高的竹竿影长为2米。此时,一棵大树的影长为8米,求大树的高度。
变式
一根垂直于地面的旗杆,在阳光下的影长为10米。若此时太阳光线与地面夹角为60°,求旗杆高度。(注:此题虽涉及三角函数,但本质仍是平行投影下的直角三角形比例关系,初三学生可用特殊角性质或相似比理解) *修正为纯平行投影变式*: 甲、乙两栋楼相距50米。某时刻,甲楼影子刚好落在乙楼底部。已知甲楼高30米,求此时乙楼(高20米)的影子长度。
试试手自己判
检测题
小明身高1.6米,站在路灯下,他的影长为2米。已知路灯灯泡离地面4米,求小明距离路灯灯杆的水平距离。
看答案和判分标准
答案:设小明距灯杆水平距离为 $x$ 米。 路灯、小明、影子构成两个相似直角三角形。 $\frac{\text{小明高}}{\text{路灯高}} = \frac{\text{小明影长}}{\text{小明影长} + x}$ $\frac{1.6}{4} = \frac{2}{2 + x}$ $0.4(2 + x) = 2$ $0.8 + 0.4x = 2$ $0.4x = 1.2$ $x = 3$ 答:小明距离路灯灯杆3米。
判对标准:
1. 正确识别出两个相似三角形(小三角形:小明与影;大三角形:路灯与总影长)。
2. 比例式列对:$\frac{1.6}{4} = \frac{2}{2+x}$ 或等价形式。
3. 计算过程无误,得出 $x=3$。
4. 若只算出影长比而未加 $x$,判错。
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