定义 平行投影中，物体上任意两点连线在投影面上的像与原连线保持平行，且对应线段长度之比恒定。
从哪来 本知识点直接建立在平行线分线段成比例定理之上。该定理指出：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。平行投影的本质就是利用平行光线（一组平行线）将空间线段“投射”到平面上，从而继承了这一比例性质。
为什么 平行投影的核心特征是“光线平行”。
想象一束平行光照射一根斜放的木棒。木棒在墙上的影子长度取决于木棒长度和入射角。
如果我们将木棒看作线段 $AB$，其影子为 $A'B'$。若再取另一根木棒 $CD$，其影子为 $C'D'$。
由于光线 $AA'$、$BB'$、$CC'$、$DD'$ 互相平行，根据平行线分线段成比例定理，在由这些平行线构成的几何结构中，截得的线段 $AB$ 与 $CD$ 的比值，必然等于它们在投影面上截得的线段 $A'B'$ 与 $C'D'$ 的比值。
即：$\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$。
这就是为什么平行投影能保持“相似性”（形状不变，大小按比例缩放），而中心投影（点光源）不能保持这种全局的比例关系。
【适合：直观型、视觉思维强的学生】**
**“影子游戏”类比法**
1. **场景构建
在操场上立两根高度不同的旗杆（或让学生站成一排）。
2.
操作：正午时分，太阳高度角固定，光线近似平行。测量两根旗杆的高度比，再测量它们影子的长度比。
3.
发现：学生会发现，无论旗杆多高，$\frac{\text{旗杆1高度}}{\text{旗杆2高度}}$ 始终等于 $\frac{\text{影子1长度}}{\text{影子2长度}}$。
4.
升华：告诉学生，这就是平行投影的“比例守恒”。因为光线是平行的，所以“放大”或“缩小”的倍数对所有物体都是一样的。
【适合：逻辑推导型、喜欢几何证明的学生】**
**“平行四边形+相似三角形”推导法**
1. **建模
画两条平行光线 $L_1, L_2$，截两条相交直线（或任意两条线段 $AB, CD$）于 $A,B$ 和 $C,D$，投影面为直线 $l$。
2.
辅助线：过点 $A$ 作 $CD$ 的平行线，交光线 $L_2$ 于点 $E$。
3.
推导：
* 因为光线平行，$AE \parallel CD$ 且 $AC \parallel ED$（假设投影方向一致），构成平行四边形 $ACDE$，故 $AE=CD$。
* 在 $\triangle ABE$ 中，由于光线平行，投影点 $A', B', E'$ 共线（或在投影面上共线）。
* 利用
平行线分线段成比例定理的推论：$\frac{AB}{AE} = \frac{A'B'}{A'E'}$。
* 代换 $AE=CD$，得 $\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$（需结合具体投影面位置调整符号，核心是比例关系不变）。
4.
结论：比例关系是由平行线截割定理直接决定的，与具体位置无关，只与投影方向有关。
【适合：抽象思维弱、需要具体数值支撑的学生】**
**“坐标缩放”数值法**
1. **设定
假设投影方向是水平的，投影面是 $y=0$ 直线。
2.
举例：
* 线段 $AB$：$A(1, 2), B(3, 4)$。长度 $\sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$。
* 线段 $CD$：$C(2, 1), D(4, 3)$。长度 $\sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$。
* 此时 $AB=CD$，比例 1:1。
* 投影后（假设光线斜率为1，投影到x轴）：
* $A'$ 的x坐标：$1+2=3$（光线 $y-2=x-1 \Rightarrow y=x+1$，交 $y=0$ 于 $x=-1$? 不，用更简单的斜投影）。
*
简化模型：设光线方向向量为 $(1,1)$。
* $A(1,2)$ 投影到 $y=0$：$2-t=0 \Rightarrow t=2, x=1+2=3 \Rightarrow A'(3,0)$。
* $B(3,4)$ 投影到 $y=0$：$4-t=0 \Rightarrow t=4, x=3+4=7 \Rightarrow B'(7,0)$。
* $A'B' = 4$。
* $C(2,1)$ 投影：$1-t=0 \Rightarrow t=1, x=2+1=3 \Rightarrow C'(3,0)$。
* $D(4,3)$ 投影：$3-t=0 \Rightarrow t=3, x=4+3=7 \Rightarrow D'(7,0)$。
* $C'D' = 4$。
*
结果：$AB=CD$，且 $A'B'=C'D'$。比例保持 1:1。
3.
变式：如果 $CD$ 长度是 $AB$ 的 2 倍，计算会发现 $C'D'$ 也是 $A'B'$ 的 2 倍。
4.
结论：平行投影相当于一个“线性变换”，它对所有线段施加了相同的缩放因子。