定义 利用导数符号判断函数在区间内增减性的方法，即 $f'(x)>0$ 增，$f'(x)<0$ 减。
从哪来 建立在 8.1 数形结合 之上。通过观察函数图像的走势（上升或下降），结合割线斜率的变化，将几何直观转化为代数符号判断。
为什么 导数 $f'(x)$ 本质上是函数在某点切线的斜率。
1. 几何直观：当图像从左向右“爬升”时，切线指向右上方，斜率为正；当图像“下滑”时，切线指向右下方，斜率为负。
2. 代数逻辑：根据拉格朗日中值定理，若区间内任意两点 $x_1 < x_2$，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f'(\xi)$。若 $f'(x)$ 恒正，则差商恒正，即 $f(x_2) > f(x_1)$，函数单调递增。
直观演示法
适合
形象思维强、抽象逻辑稍弱的学生。
1. 展示一个滑梯模型，让学生描述“往上滑”和“往下滑”的感觉。
2. 在黑板上画出 $y=x^3$ 的图像，用直尺模拟切线。
3. 提问：当切线“抬头”时，$x$ 增大，$y$ 怎么变？（变大）此时斜率是正还是负？（正）。
4. 结论：斜率正 $\rightarrow$ 函数增。
极限逼近法
适合
逻辑严密、喜欢推导的学生。
1. 回顾平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$。
2. 当 $\Delta x$ 趋近于 0 时，平均变化率趋近于瞬时变化率（导数）。
3. 如果函数一直在增加，那么任意微小的 $\Delta x > 0$ 对应的 $\Delta y$ 必须大于 0。
4. 因此 $\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0$，取极限得 $f'(x) \ge 0$。
反证假设法
适合
容易混淆概念、需要强化逻辑链条的学生。
1. 假设 $f(x)$ 在区间单调递增。
2. 取区间内任意两点 $a < b$。
3. 由递增定义知 $f(b) > f(a)$，即 $f(b) - f(a) > 0$。
4. 由中值定理，$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$。
5. 因为 $b-a > 0$ 且结果为正，所以 $f'(\xi)$ 必须为正。
6. 既然 $\xi$ 是任意的，所以整个区间导数非负。