定义 函数在某点附近取得最大值或最小值，且该点处导数为零（或不存在）的性质。
从哪来 建立在 8.1 数形结合 之上。通过图像直观理解“峰值”与“谷值”的几何特征，再引入导数作为刻画变化率的代数工具，实现从“形”到“数”的转化。
为什么 极值本质是函数单调性的转折点。当函数由增变减时，切线斜率由正变负，中间必经过零（或不可导点）；反之由减变增时，斜率由负变正。导数正是刻画这一“方向改变”的代数指标，因此极值点必然出现在导数为零或导数不存在的点。
讲法
适合视觉型/直观型学生
先画 $y=x^3-3x$ 的图像，标出极大值点 $(-1,2)$ 和极小值点 $(1,-2)$。引导学生观察：在极大值点左侧曲线“上坡”（$f'>0$），右侧“下坡”（$f'<0$）；极小值点则相反。强调“极值看趋势，导数看斜率”，用颜色区分正负区间，建立图像与符号的对应关系。
讲法
适合逻辑型/抽象型学生
从定义出发：若 $x_0$ 是极值点，则存在邻域 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$，使得 $f(x_0) \geq f(x)$（极大）或 $f(x_0) \leq f(x)$（极小）。结合费马引理：若 $f$ 在 $x_0$ 可导且为极值点，则 $f'(x_0)=0$。强调“可导”前提，推导 $f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 中分子非正/非负，极限必为零。
讲法
适合应用型/工程型学生
以“利润最大化”为例：设利润函数 $P(x)=-x^3+12x^2-45x+100$，求最大利润。让学生理解：企业决策中“最优解”就是极值点。先求 $P'(x)=-3x^2+24x-45$，令其为零得 $x=3,5$，再通过二阶导或一阶导符号变化判断哪个是极大值。强调导数是“优化决策”的数学工具。