3. 空间想象能力

1. 观察与转化：直接看 $A_1B$ 和 $B_1C$ 是异面直线，无法直接求角。需要平移其中一条直线，使它们相交。 2. 构建辅助线：连接 $D_1C$。在正方体中，$A_1B \parallel D_1C$（因为 $A_1D_1 \parallel BC$ 且 $A_1D_1 = BC$，所以四边形 $A_1BCD_1$ 是平行四边形）。 3. 转化为平面角：因此，异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角等于直线 $D_1C$ 与 $B_1C$ 所成的角，即 $\angle B_1CD_1$（或其补角）。 4. 计算三角形：连接 $B_1D_1$。 * $B_1C$ 是面 $BCC_1B_1$ 的对角线，长度为 $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$。 * $D_1C$ 是面 $CDD_1C_1$ 的对角线，长度为 $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$。 * $B_1D_1$ 是面 $A_1B_1C_1D_1$ 的对角线，长度为 $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$。 5. 得出结论：$\triangle B_1CD_1$ 是等边三角形，所以 $\angle B_1CD_1 = 60^\circ$。

答案：$90^\circ$
判对标准：
1. 方法正确：学生使用了向量法（$\vec{EF} \cdot \vec{AC} = 0$）或几何法（证明 $EF \perp AC$）。
2. 过程完整：
* 若用向量法：设棱长为 $2$，建立坐标系或利用基底向量 $\vec{CA}, \vec{CB}, \vec{CD}$。计算 $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{CB} + \vec{CD}) - \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CB}) = \frac{1}{2}(\vec{CD} - \vec{CA}) = \frac{1}{2}\vec{AD}$？不对，$\vec{EF} = \vec{EC} + \vec{CF}$ 或 $\vec{EA} + \vec{AF}$。
* 正确向量推导：$\vec{EF} = \vec{E} - \vec{F} = \frac{\vec{A}+\vec{B}}{2} - \frac{\vec{C}+\vec{D}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}-\vec{D})$。
* $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$。
* $\vec{EF} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{A}+\vec{B}-\vec{C}-\vec{D}) \cdot (\vec{C}-\vec{A})$。
* 利用正四面体性质：$\vec{A}\cdot\vec{C} = \vec{B}\cdot\vec{C} = \vec{A}\cdot\vec{B} = \dots$ 这种基底法较繁琐。
* 几何法更优：连接 $AE, BE$（即 $AB$），连接 $CF, DF$（即 $CD$）。取 $AC$ 中点 $M$，连接 $EM, FM$。
* $E$ 是 $AB$ 中点，$M$ 是 $AC$ 中点 $\Rightarrow EM \parallel BC$ 且 $EM = \frac{1}{2}BC$。
* $F$ 是 $CD$ 中点，$M$ 是 $AC$ 中点 $\Rightarrow FM \parallel AD$ 且 $FM = \frac{1}{2}AD$。
* 这似乎没有直接证明 $EF \perp AC$。
* 重新几何法：
* 连接 $AF, BF$。因为 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 都是等边三角形，$F$ 是 $CD$ 中点，所以 $AF \perp CD$，$BF \perp CD$。
* 所以 $CD \perp$ 平面 $ABF$。
* 因为 $EF \subset$ 平面 $ABF$，所以 $CD \perp EF$。
* 同理，连接 $AE, BE$。$E$ 是 $AB$ 中点，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 是等边三角形 $\Rightarrow CE \perp AB, DE \perp AB \Rightarrow AB \perp$ 平面 $CDE \Rightarrow AB \perp EF$。
* 这说明 $EF$ 是 $AB$ 和 $CD$ 的公垂线。
* 但这没直接说 $EF \perp AC$。
* 回到向量法（最稳妥）：
* 设 $\vec{CA}=\mathbf{a}, \vec{CB}=\mathbf{b}, \vec{CD}=\mathbf{c}$。$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=1$，夹角均为 $60^\circ$。
* $\vec{AC} = -\mathbf{a}$。
* $\vec{EF} = \vec{CF} - \vec{CE} = \frac{1}{2}\mathbf{c} - \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})$。
* $\vec{EF} \cdot \vec{AC} = [\frac{1}{2}\mathbf{c} - \frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})] \cdot (-\mathbf{a}) = -\frac{1}{2}\mathbf{c}\cdot\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$。
* $= -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 0$。
* 等等，我之前的直觉 $90^\circ$ 可能是错的？
* 让我们重新检查。
* $\vec{EF} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}$。
* $|\vec{EF}|^2 = \frac{1}{4}(\mathbf{c} - \mathbf{a} - \mathbf{b})^2 = \frac{1}{4}(1 + 1 + 1 - 2\mathbf{c}\cdot\mathbf{a} - 2\mathbf{c}\cdot\mathbf{b} + 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) = \frac{1}{4}(3 - 1 - 1 + 1) = \frac{1}{4}$。
* $|\vec{EF}| = \frac{1}{2}$。
* $|\vec{AC}| = 1$。
* $\cos \theta = \frac{1/2}{1/2 \times 1} = 1$。
* 这意味着 $\theta = 0^\circ$？即 $EF \parallel AC$？
* 这不可能。$E$ 在 $AB$ 上，$F$ 在 $CD$ 上。
* 让我们画图。正四面体。$AB$ 和 $CD$ 是异面直线。$EF$ 连接中点。
* 在正四面体中，对棱中点连线垂直于这两条对棱。即 $EF \perp AB$ 且 $EF \perp CD$。