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随机变量及其分布

高二　·　本节 19 个知识点
学这一节之前，先确认
计数原理与二项式定理
前置
条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
前置
这些是地基。没通的补完再回来 —— 比硬啃快得多。
本节的知识点点进去看讲解
01
1.1 随机变量的定义随机变量是将随机试验中所有可能结果映射为实数的单值函数。
02
1.2 离散型随机变量取值可一一列举，且每个取值对应确定概率的随机变量。
03
1.3 随机变量的分布随机变量分布律是描述离散型随机变量取各个可能值及其对应概率的完整数学模型。
04
2.1 分布列的定义离散型随机变量取各个可能值及其对应概率的列表，称为该变量的分布列。
05
2.2 分布列的表示用表格或公式列出随机变量所有可能取值及其对应概率，且概率和为1。
06
2.3 分布列的性质离散型随机变量所有取值概率之和为1，且每个取值的概率非负。
07
3.1 数学期望（均值）随机变量所有可能取值与其对应概率乘积之和，反映随机变量取值的平均水平。
08
3.2 方差方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，用于衡量数据的离散程度。
09
3.3 期望与方差的计算步骤期望是随机变量取值的加权平均，方差衡量取值偏离期望的程度，计算需分步执行。
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4.1 两点分布（0-1分布）随机变量 $X$ 只取 0 和 1 两个值，且 $P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$ 的分布。
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4.2 二项分布在 $n$ 次独立重复试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率分布，记为 $X \sim B(n, p)$。
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4.3 超几何分布从有限总体中不放回抽取，关注其中特定类别元素个数的离散型随机变量分布。
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4.4 泊松分布（选学）描述单位时间或空间内，独立随机事件发生次数的离散概率分布。
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5.1 正态分布的定义连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu
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5.2 正态分布的性质正态分布是连续型随机变量服从的钟形对称概率分布，由均值和方差唯一确定。
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5.3 3$\sigma$原则正态分布中，随机变量落在均值加减3倍标准差区间内的概率约为99.7%。
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6.1 期望方差的应用利用期望与方差的线性性质，求解随机变量线性组合的期望与方差。
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6.2 分布的应用利用二项分布模型，解决“n次独立重复试验中成功次数”的概率计算与期望方差问题。
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6.3 实际问题建模将实际情境中的文字、图形信息转化为数学符号、变量及方程或不等式组的过程。
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