基础题
某工厂生产甲、乙两种产品。生产1件甲产品需耗用A原料4kg、B原料2kg；生产1件乙产品需耗用A原料3kg、B原料5kg。现有A原料20kg、B原料25kg。甲产品每件利润100元，乙产品每件利润120元。问如何安排生产使利润最大？
变式
某班50名学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布 $N(80, 10^2)$。已知成绩在90分以上的有5人。若以90分为优秀线，求该班成绩在70分到90分之间的人数约为多少？（参考数据：$\Phi(1) \approx 0.8413$）
1. 设变量：设生产甲产品 $x$ 件，乙产品 $y$ 件。
2. 找约束：
- A原料：$4x + 3y \le 20$
- B原料：$2x + 5y \le 25$
- 非负性：$x, y \ge 0$ 且 $x, y \in \mathbb{N}$
3. 定目标：利润 $z = 100x + 120y$，求 $z$ 的最大值。
4. 求解：
- 联立方程组求交点：
$\begin{cases} 4x + 3y = 20 \\ 2x + 5y = 25 \end{cases}$
解得 $x = 2.5, y = 4$。
- 由于 $x, y$ 需为整数，考察交点附近的整数点：$(2, 4), (3, 4), (2, 5)$ 等。
- 验证约束：
- $(2, 4)$: $4(2)+3(4)=20 \le 20$, $2(2)+5(4)=24 \le 25$。$z = 200 + 480 = 680$。
- $(3, 4)$: $4(3)+3(4)=24 > 20$ (不满足)。
- $(2, 5)$: $4(2)+3(5)=23 > 20$ (不满足)。
- 考察 $x=1$ 时，$y$ 最大为 $\min(\lfloor\frac{16}{3}\rfloor, \lfloor\frac{23}{5}\rfloor) = 5$。$z = 100 + 600 = 700$。
- 考察 $x=0$ 时，$y$ 最大为 $\min(\lfloor\frac{20}{3}\rfloor, \lfloor\frac{25}{5}\rfloor) = 5$。$z = 600$。
- 考察 $x=4$ 时，$y$ 最大为 $\min(\lfloor\frac{4}{3}\rfloor, \lfloor\frac{17}{5}\rfloor) = 1$。$z = 400 + 120 = 520$。
- 比较发现，当 $x=1, y=5$ 时，$z=700$ 为最大值。
*(注：若题目未要求整数解，则取交点 $(2.5, 4)$，$z=650$。通常此类应用题隐含整数要求，此处按整数解处理更严谨，若按线性规划连续解处理，最大值为650。鉴于高三通常考查线性规划连续解或整数解，此处以连续解为例简化：最大值为650元，此时甲2.5件，乙4件。若必须整数，则需枚举。为符合常规教学，此处展示连续解逻辑，实际教学中需强调整数约束)*
修正解答（按常规线性规划连续解）：
目标函数 $z = 100x + 120y$。
可行域顶点为 $(0,0), (5,0), (0,5), (2.5,4)$。
代入计算：
$(0,0) \rightarrow 0$
$(5,0) \rightarrow 500$
$(0,5) \rightarrow 600$
$(2.5,4) \rightarrow 250 + 480 = 730$
结论：生产甲2.5件，乙4件时，利润最大为730元。（若题目隐含整数，则需另行讨论，此处以数学模型求解为主）