检测题
已知集合 $M = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$，$N = \{x \mid x^2 - ax + a - 1 = 0\}$。若 $N \subseteq M$，求实数 $a$ 的取值集合。
答案：$\{1, 2, 3\}$
判对标准：
1. 正确求出 $M = \{1, 2\}$。（1分）
2. 正确分类讨论 $N$ 的情况：
- 情况1：$N = \emptyset$，即 $\Delta < 0$。解得 $a \in (1, 3)$？不对，需具体计算。
$\Delta = a^2 - 4(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$。
因为 $(a-2)^2 \ge 0$，所以 $N$ 不可能为空集。此步判断正确即得1分。
- 情况2：$N$ 非空。
若 $N$ 有一个元素，则 $\Delta = 0 \Rightarrow a = 2$。此时 $N = \{1\}$，$1 \in M$，符合。（1分）
若 $N$ 有两个元素，则 $N$ 的元素必须是 $1$ 和 $2$。
由韦达定理：$x_1 + x_2 = a = 1 + 2 = 3$，$x_1 x_2 = a - 1 = 2$。
检验：$3 - 1 = 2$，一致。故 $a = 3$ 符合。（1分）
3. 最终集合为 $\{1, 2, 3\}$？
等等，重新检查 $a=1$ 的情况。
若 $a=1$，方程为 $x^2 - x = 0$，根为 $0, 1$。$N=\{0, 1\}$。$0 \notin M$，故 $a=1$ 不符合。
修正答案推导：
$M = \{1, 2\}$。
$N \subseteq M$。
$N$ 的方程 $x^2 - ax + a - 1 = 0$ 可因式分解为 $(x-1)(x-(a-1)) = 0$。
所以 $N$ 的元素一定是 $1$ 和 $a-1$。
即 $N = \{1, a-1\}$ （若 $1 \neq a-1$）或 $N = \{1\}$ （若 $1 = a-1$）。
由 $N \subseteq M$，且 $1 \in M$，只需保证 $a-1 \in M$。
即 $a-1 = 1$ 或 $a-1 = 2$。
解得 $a = 2$ 或 $a = 3$。
检验：
- 当 $a=2$ 时，$N = \{1, 1\} = \{1\}$，$\{1\} \subseteq \{1, 2\}$，成立。
- 当 $a=3$ 时，$N = \{1, 2\}$，$\{1, 2\} \subseteq \{1, 2\}$，成立。
最终正确答案：$\{2, 3\}$。