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三角函数的概念、性质与应用

高三　·　本节 23 个知识点
学这一节之前，先确认
函数的性质、导数及其应用
前置
这些是地基。没通的补完再回来 —— 比硬啃快得多。
本节的知识点点进去看讲解
01
1. 角的推广角是平面内一条射线绕端点旋转形成的图形，包含任意大小的正角、负角和零角。
02
2. 弧度制长度等于半径的圆弧所对的圆心角为 1 弧度，弧度制是用弧长与半径比值定义角的度量单位。
03
1. 任意角三角函数将单位圆上任意终边与圆交点的坐标定义为该角的正弦、余弦，从而推广三角函数至任意角。
04
2. 三角函数线在单位圆中，表示三角函数值的有向线段，分别对应正弦、余弦、正切。
05
1. 平方关系同角三角函数中，正弦与余弦的平方和恒等于1，即 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$。
06
2. 商数关系正弦、余弦、正切函数值之间通过平方和及商式建立的恒等关系。
07
3. 倒数关系若两个数乘积为1，则这两个数互为倒数；特别地，0没有倒数。
08
1. 记忆口诀利用汉字谐音、首字母或逻辑关联，将抽象数学公式或性质转化为简短易记的顺口溜。
09
2. 常用诱导公式利用三角函数值与角度间的对称关系，将任意角三角函数转化为锐角三角函数的公式集合。
10
1. 正弦函数 y=sin x正弦函数是以角 $x$ 为自变量，以单位圆上对应点的纵坐标 $y$ 为因变量的函数。
11
2. 余弦函数 y=cos x余弦函数是单位圆上动点横坐标关于圆心角 $x$ 的函数，记作 $y=\cos x$，定义域为 $\mathbb{R}$。
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3. 正切函数 y=tan x正切函数是正弦与余弦的商，即 $y=\frac{\sin x}{\cos x}$，定义域为 $\{x|x \neq k\pi + \frac
13
1. 两角和差公式利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，将复杂角的三角函数值转化为已知角的三角函数值的运算法则。
14
2. 二倍角公式利用和角公式推导出的，将二倍角的正弦、余弦、正切用单角三角函数表示的恒等式。
15
3. 辅助角公式将 $a\sin x + b\cos x$ 合并为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ 的恒等变形公式。
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4. 半角公式利用二倍角公式变形，由角的余弦值求该角正弦、正切值的公式。
17
1. 正弦定理三角形中，各边与其对角的正弦值之比相等，且等于外接圆直径。
18
2. 余弦定理三角形任意一边的平方等于另外两边平方和减去这两边与其夹角余弦积的两倍。
19
3. 三角形面积公式三角形面积等于两边长与夹角正弦值乘积的一半，即 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$。
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4. 解三角形常用技巧解三角形常用技巧指利用正余弦定理及三角恒等变换，将边角关系转化为代数方程或最值问题的策略集合。
21
类型一：三角函数图像变换通过平移、伸缩变换，将 $y=\sin x$ 图像转化为 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+k$ 图像的过程。
22
类型二：三角形综合利用正弦、余弦定理及三角恒等变换，解决三角形边长、角度、面积及最值等综合问题。
23
类型三：范围最值问题求函数在给定区间上的最大值或最小值，核心是确定函数值域的边界。
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