定义 将 $a\sin x + b\cos x$ 合并为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ 的恒等变形公式。
从哪来 它建立在3. 函数图像变换之上，本质是利用正弦函数的和角公式逆运算，将两个同频不同相位的正弦波叠加为一个单一的正弦波。
为什么 核心逻辑是“提取公因式”与“构造三角函数定义”。
我们要把 $a\sin x + b\cos x$ 变成 $R\sin(x+\varphi) = R(\sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi)$。
对比系数，需满足 $R\cos \varphi = a$ 且 $R\sin \varphi = b$。
由勾股定理 $R^2 = a^2 + b^2$，得 $R = \sqrt{a^2+b^2}$。
此时 $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
这正好对应直角三角形中邻边、对边与斜边的关系，因此 $\varphi$ 存在且唯一（在特定象限内）。
几何向量法
适合
空间想象力强、喜欢直观图形的学生。
将 $a$ 和 $b$ 看作直角三角形的两条直角边，$\sqrt{a^2+b^2}$ 是斜边。
$\varphi$ 就是该直角三角形中邻边为 $a$、对边为 $b$ 的那个锐角。
口诀：“系数定斜边，系数定角，角看象限”。
画图：画一个直角三角形，标出 $a, b$，直接读出 $\tan \varphi = b/a$。
代数配凑法
适合
逻辑严密、擅长代数运算的学生。
步骤化操作：
1. 提取 $\sqrt{a^2+b^2}$。
2. 括号内变为 $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x$。
3. 令 $\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
4. 利用和角公式逆用，合并为 $\sin(x+\varphi)$。
强调：$\varphi$ 的值由 $a, b$ 的符号共同决定，必须判断象限。
特殊值代入法
适合
基础薄弱、需要快速解题技巧的学生。
不求 $\varphi$ 的具体角度，只保留 $\varphi$ 的三角函数值。
例如求 $y = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ 的最大值。
直接算振幅 $A = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$。
若需求单调区间，再令 $\cos \varphi = 1/2, \sin \varphi = \sqrt{3}/2$，得 $\varphi = \pi/3$。
强调：很多时候只需算出振幅 $A$，无需算出 $\varphi$ 的具体度数，节省时间。