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数列的概念与等差、等比数列

高三　·　本节 26 个知识点
学这一节之前，先确认
函数的性质、导数及其应用
前置
这些是地基。没通的补完再回来 —— 比硬啃快得多。
本节的知识点点进去看讲解
01
1. 数列的概念按一定顺序排列的一列数，其中每一项称为项，项的位置称为序号。
02
2. 数列的分类按项数有限或无限，以及项的变化规律（单调性、有界性、周期性）对数列进行的逻辑划分。
03
1. 定义定义是数学概念的本质属性概括，是用简洁语言准确界定对象内涵与外延的逻辑表述。
04
2. 通项公式数列中第 $n$ 项 $a_n$ 与序号 $n$ 之间的函数关系式，即 $a_n = f(n)$。
05
3. 前n项和公式等差数列前n项和公式 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 及等比数列前n项和公式 $S_n = \frac{a_1(1
06
4. 等差中项若 $a, A, b$ 成等差数列，则 $A$ 称为 $a$ 与 $b$ 的等差中项，满足 $2A = a + b$。
07
5. 性质函数 $f(x)$ 在定义域内满足 $f(-x)=f(x)$ 或 $f(-x)=-f(x)$ 的代数特征。
08
1. 定义定义是数学中明确概念内涵与外延的陈述，规定特定符号或术语指代的对象及性质。
09
2. 通项公式数列中项 $a_n$ 与项数 $n$ 之间的函数关系式，已知 $n$ 可求 $a_n$。
10
3. 前n项和公式数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 是前 $n$ 项的累加值，即 $S_n = a_1 + a_2 + \dots +
11
4. 等比中项若 $b^2=ac$ 且 $a,c$ 同号，则 $b$ 是 $a,c$ 的等比中项。
12
5. 性质函数在定义域内，若对任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$ 或 $f(-x)=-f(x)$，则分别称为偶函数或奇函数。
13
1. 公式法利用一元二次方程求根公式，直接计算二次函数零点的方法。
14
2. 错位相减法利用等比数列公比 $q$ 与等差数列项数差 $1$ 的特征，通过错位相减消去中间项求和的方法。
15
3. 裂项相消法将数列通项拆分为两项之差，使求和时中间项相互抵消，仅余首尾项的方法。
16
4. 倒序相加法将数列首尾对应项相加，若和为常数，则利用 $2S_n$ 消去变量求和的方法。
17
5. 分组求和法将数列拆分为等差、等比或可裂项部分，分别求和后合并，适用于通项为多项式乘指数或类似结构。
18
1. 累加法将数列前 $n$ 项和 $S_n$ 与 $S_{n-1}$ 作差，从而由 $S_n$ 求通项 $a_n$ 的方法。
19
2. 累乘法累乘法是将多个等比数列的项相乘，利用相邻项约分消去中间项，从而求积的方法。
20
3. 构造法通过构造新函数、新数列或新几何图形，将已知条件转化为新对象性质以简化求解的方法。
21
1. 数列与函数数列是定义在正整数集（或其有限子集）上的特殊函数，通项公式即函数解析式。
22
2. 数列与不等式利用数列通项公式或前n项和，结合不等式性质求解参数范围或证明不等式成立。
23
3. 数列应用题利用数列通项公式、求和公式及递推关系，解决增长、收益、排列等实际问题的数学建模过程。
24
类型一：求通项已知数列递推关系或前几项，通过变形或构造，求出 $a_n$ 关于 $n$ 的解析表达式。
25
类型二：错位相减针对等差数列与等比数列乘积构成的数列，通过错位相减消去中间项求和的方法。
26
类型三：证明不等式通过代数变形、函数性质或几何意义，推导出两个量之间大小关系的逻辑过程。
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