定义 若 $b^2=ac$ 且 $a,c$ 同号，则 $b$ 是 $a,c$ 的等比中项。
从哪来 本知识点建立在“等比数列的定义”及“等比中项的基本性质”之上（注：图谱未记录前置，此处依据学科逻辑，默认学生已掌握等比数列通项公式 $a_n = a_1 q^{n-1}$ 及相邻三项关系 $a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$ 中 $a_n^2 = a_{n-1}a_{n+1}$ 这一基础结论）。
为什么 等比数列的核心特征是“相邻两项的比值相等”。
设三个数 $a, b, c$ 成等比数列，则 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$。
交叉相乘得 $b^2 = ac$。
反之，若 $b^2 = ac$，且 $a, c$ 同号（保证比值有意义且不为0），则 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ 成立，故 $a, b, c$ 成等比数列。
因此，$b$ 被称为 $a$ 和 $c$ 的等比中项。本质上是等比数列公比恒定性的代数表达。
讲法
适合：逻辑推导型、喜欢从定义出发的学生
讲法：代数推导法
1. 从等比数列定义出发：$a, b, c$ 成等比 $\iff \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = q$。
2. 由 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ 直接交叉相乘得到 $b^2 = ac$。
3. 强调：这是充要条件（前提是 $a,c$ 同号且非零）。
4. 结论：求等比中项就是解方程 $b^2 = ac$。
讲法
适合：直觉型、喜欢几何直观的学生
讲法：几何平均数类比法
1. 引入概念：等比中项 $b$ 其实就是 $a$ 和 $c$ 的
几何平均数。
2. 对比算术平均数：算术平均数 $\frac{a+c}{2}$ 是“加”的平衡，几何平均数 $\sqrt{ac}$ 是“乘”的平衡。
3. 记忆口诀：“等比看乘积，等差看和”。
4. 应用：求 $a, c$ 的等比中项，直接算 $\pm\sqrt{ac}$（注意符号）。
讲法
适合：易混淆、需要辨析概念的学生
讲法：对比辨析法
1. 列出等差中项：若 $a, b, c$ 成等差，则 $2b = a+c$，即 $b = \frac{a+c}{2}$。
2. 列出等比中项：若 $a, b, c$ 成等比，则 $b^2 = ac$，即 $b = \pm\sqrt{ac}$。
3. 关键区别：
* 等差中项只有一个值（除非 $a=c$）。
* 等比中项通常有两个值（互为相反数），除非 $a=c=0$（此时无意义）或 $a=c>0$（此时 $b=\pm a$）。
4. 强调：等比中项必须考虑正负号，这是与等差中项最大的不同。