定义 已知数列递推关系或前几项，通过变形或构造，求出 $a_n$ 关于 $n$ 的解析表达式。
从哪来 本节为高三数列专题起点，无前置图谱记录，直接基于高中数学必修内容中的数列概念及基本运算展开。
为什么 数列本质是定义在正整数集上的函数。通项公式 $a_n=f(n)$ 是数列最简洁、最本质的代数表达。掌握求通项，才能将“逐项计算”转化为“整体分析”，进而解决求和、不等式证明等复杂问题。其核心逻辑是利用递推关系中的“不变量”或“结构特征”，将复杂递推转化为等差或等比数列。
讲法
特征方程法（适合逻辑严密、擅长代数变形的学生）
针对 $a_{n+1} = pa_n + q$ 型递推。
1. 设 $a_{n+1} + \lambda = p(a_n + \lambda)$，展开得 $a_{n+1} = pa_n + (p-1)\lambda$。
2. 对比原式，令 $(p-1)\lambda = q$，解得 $\lambda = \frac{q}{p-1}$。
3. 构造新数列 $b_n = a_n + \frac{q}{p-1}$，则 $\{b_n\}$ 为公比 $p$ 的等比数列。
4. 求出 $b_n$ 后，反解出 $a_n$。
*强调：这是通法，必须掌握推导过程，而非死记公式。*
讲法
累加法（适合直观思维强、擅长观察项间关系的学生）
针对 $a_{n+1} - a_n = f(n)$ 型递推。
1. 写出前 $n-1$ 个式子：
$a_2 - a_1 = f(1)$
$a_3 - a_2 = f(2)$
...
$a_n - a_{n-1} = f(n-1)$
2. 左右两边分别相加，左边中间项抵消，剩 $a_n - a_1$。
3. 右边求和 $S = \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$。
4. 得 $a_n = a_1 + S$。
*强调：关键在于识别右边求和是否为等差、等比或可裂项求和。*
讲法
累乘法（适合对乘法结构敏感、擅长因式分解的学生）
针对 $\frac{a_{n+1}}{a_n} = f(n)$ 型递推。
1. 写出前 $n-1$ 个式子：
$\frac{a_2}{a_1} = f(1)$
$\frac{a_3}{a_2} = f(2)$
...
$\frac{a_n}{a_{n-1}} = f(n-1)$
2. 左右两边分别相乘，左边中间项抵消，剩 $\frac{a_n}{a_1}$。
3. 右边求积 $P = \prod_{k=1}^{n-1} f(k)$。
4. 得 $a_n = a_1 \cdot P$。
*强调：需特别注意 $a_n \neq 0$ 的前提，以及右边乘积的化简技巧。*