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1. 正弦定理

三角函数的概念、性质与应用　·　高三
先确认一下：这一关能不能学
函数的性质、导数及其应用
先会这个
上面这几节是它的地基 —— 没通的话，补完再回来，比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义　三角形中，各边与其对角的正弦值之比相等，且等于外接圆直径。

从哪来　基于3. 函数图像变换中三角函数周期性理解角度关系，及4. 三角函数中正弦定义与性质。

为什么　在任意三角形中，作高线构造直角三角形，利用正弦定义（对边/斜边）可得 $a/\sin A = c/\sin C$；再结合正弦的对称性 $\sin(180^\circ - A) = \sin A$，可推广至钝角三角形，最终统一为 $a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C = 2R$。

几何推导法
从锐角三角形作高出发，用直角三角形中的正弦定义直接推导，再过渡到钝角情形。
适合：空间几何直觉强、喜欢从图形出发的学生。
坐标向量法
将三角形置于坐标系，用向量点积或斜率关系推导边与角的关系，再引入正弦。
适合：代数思维强、偏好解析几何路径的学生。
面积法
利用三角形面积公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$，由同一三角形面积相等推出 $a\sin B = b\sin A$，进而得正弦定理。
适合：逻辑链条清晰、擅长代数变形与等式转换的学生。
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练一道
基础题
在△ABC中，已知 $a=5$，$A=30^\circ$，$B=45^\circ$，求边 $b$。
变式
在△ABC中，已知 $a=8$，$b=6$，$A=60^\circ$，求角 $B$。
试试手自己判
检测题
在△ABC中，已知 $a=7$，$b=5$，$A=120^\circ$，求角 $B$。
看答案和判分标准
答案：$B = \arcsin\left(\frac{5 \sin 120^\circ}{7}\right) = \arcsin\left(\frac{5 \cdot \sqrt{3}/2}{7}\right) = \arcsin\left(\frac{5\sqrt{3}}{14}\right)$。
判对标准：
学生必须写出 $\sin B = \frac{b \sin A}{a}$ 的推导过程，并正确计算 $\sin 120^\circ = \sqrt{3}/2$，最终给出 $B$ 的反正弦表达式或合理近似值（约 $33.56^\circ$），且未出现符号错误或角度范围错误。
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