定义 正切函数是正弦与余弦的商，即 $y=\frac{\sin x}{\cos x}$，定义域为 $\{x|x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$。
从哪来 它建立在4. 三角函数（正弦、余弦的定义及关系）和3. 函数图像变换（利用商函数性质或几何意义推导图像）之上。
为什么 正切函数的本质是直角三角形中“对边比邻边”，在单位圆中表现为终边与 $x$ 轴交点 $(1,0)$ 到终边与 $y=x$ 平行线交点的纵坐标。
因为 $\cos x$ 在 $x=k\pi+\frac{\pi}{2}$ 处为 0，导致比值无意义，所以图像在这些位置断开，形成渐近线。
又因为 $\tan(x+\pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$，所以图像每隔 $\pi$ 重复一次，呈现周期性。
这种“无限延伸”且“中间穿过原点”的特征，是由分子分母符号变化及零点位置共同决定的。
几何直观法
在单位圆中，设角 $\alpha$ 终边交单位圆于 $P$，过 $A(1,0)$ 作 $x$ 轴垂线交终边于 $T$，则线段 $AT$ 的长度（带符号）即为 $\tan \alpha$。
*
适合：空间想象力强、喜欢几何图形、对抽象代数公式感到困难的学生。
*
操作：动态演示角 $\alpha$ 从 $0$ 增加到 $\frac{\pi}{2}$ 时，点 $T$ 沿直线 $x=1$ 向上无限远离，直观展示渐近线。
代数推导法
从 $y=\frac{\sin x}{\cos x}$ 出发，分析分子分母的符号和零点。
*
适合：逻辑推理能力强、擅长代数运算、习惯从公式出发的学生。
*
操作：列表分析 $x$ 在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 区间内，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的正负及大小变化，推导出 $y$ 从 $-\infty$ 增至 $+\infty$ 的单调性。
图像变换法
将 $y=\tan x$ 看作 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 的“商”。
*
适合：已经熟练掌握正弦、余弦图像，喜欢通过对比记忆的学生。
*
操作：在坐标系中同时画出 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$，观察两曲线交点（$\tan x=1$ 或 $-1$）以及 $\cos x=0$ 的位置，理解正切图像如何“穿过”正弦曲线并在余弦零点处“断裂”。