定义 求函数在给定区间上的最大值或最小值，核心是确定函数值域的边界。
从哪来 建立在“三角函数”的周期性、单调性特征，以及“函数图像变换”中平移、伸缩对定义域和值域影响的基础上。
为什么 三角函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+k$ 的值域通常由振幅 $A$ 和垂直位移 $k$ 决定，但在有限区间 $[a, b]$ 上，最值取决于区间端点是否覆盖了函数的极值点（峰顶或谷底）。若区间长度小于半个周期，最值往往出现在端点或区间内的极值点；若区间覆盖完整周期，则直接取全局最值。本质是利用单调性将“求值”转化为“找位置”。
数形结合法（适合直观思维强、空间感好的学生）**
1. 画出 $y=\sin x$ 的标准图像。
2. 根据 $\omega$ 和 $\varphi$ 进行图像变换（伸缩、平移），画出目标函数在指定区间 $[a, b]$ 内的草图。
3. 直接观察图像的最高点和最低点，读出对应的 $x$ 值，代入计算 $y$ 值。
4. **口诀
“画出来，看高低，端点极值比一比”。
讲法
整体代换法（适合逻辑严密、代数运算能力强的学生）
1. 令 $t = \omega x + \varphi$。
2. 根据 $x \in [a, b]$，求出 $t$ 的取值范围 $[t_{min}, t_{max}]$。
3. 问题转化为求 $y = A\sin t + k$ 在 $t \in [t_{min}, t_{max}]$ 上的最值。
4. 结合正弦函数在 $t$ 轴上的单调性区间（如 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 递增），判断 $t$ 的范围是否包含 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ 或 $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$。
5. 若包含，最值为 $\pm A + k$；若不包含，比较区间端点处的函数值大小。
端点与极值点比较法（适合考试实战、追求速度的学生）**
1. 先计算区间两个端点 $x=a$ 和 $x=b$ 的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$。
2. 判断区间内是否存在导数为0的点（即 $\omega x + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$）。
3. 若存在，计算该极值点的函数值 $f(x_{ext})$。
4. 将 $f(a), f(b), f(x_{ext})$ 三者比较，最大者为最大值，最小者为最小值。
5. **注意
若区间长度大于等于一个周期，直接取 $k+A$ 和 $k-A$，无需比较端点。