定义 同角三角函数中，正弦与余弦的平方和恒等于1，即 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$。
从哪来 基于4. 三角函数中单位圆定义及勾股定理，结合3. 函数图像变换中坐标系的几何意义推导得出。
为什么 在单位圆中，任意角 $\alpha$ 终边与单位圆交点 $P(x,y)$ 的坐标定义为 $(\cos\alpha, \sin\alpha)$。
由圆的方程 $x^2 + y^2 = 1$ 及勾股定理（直角三角形斜边平方等于两直角边平方和），直接代入坐标即得 $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$。
这本质上是单位圆上任意点到原点距离为1的代数表达，与角度大小无关，仅由圆的几何性质决定。
讲法
【代数推导法】
适合
逻辑严密、偏好公式推导的学生。
从直角三角形定义出发：设直角三角形两直角边为 $a,b$，斜边为 $c$。
$\sin\alpha = a/c, \cos\alpha = b/c$。
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (a/c)^2 + (b/c)^2 = (a^2+b^2)/c^2$。
由勾股定理 $a^2+b^2=c^2$，故原式 $= c^2/c^2 = 1$。
强调：这是勾股定理的三角函数形式，适用于所有锐角，推广至任意角需借助单位圆。
讲法
【单位圆几何法】
适合
空间想象力强、偏好图形直观的学生。
画出单位圆，取任意一点 $P(x,y)$。
连接 $OP$，设 $\angle xOP = \alpha$。
根据定义，$x = \cos\alpha, y = \sin\alpha$。
因为 $P$ 在单位圆上，所以 $x^2 + y^2 = 1$（圆方程）。
直接替换得 $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$。
强调：无论 $\alpha$ 如何旋转，点 $P$ 始终在圆上，距离原点始终为1，平方和不变。
讲法
【数值验证与反例法】
适合
抽象思维较弱、需要具体实例支撑的学生。
选取特殊角验证：
$\alpha=0^\circ: \sin^2 0 + \cos^2 0 = 0 + 1 = 1$
$\alpha=30^\circ: (1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1$
$\alpha=45^\circ: (\sqrt{2}/2)^2 + (\sqrt{2}/2)^2 = 1/2 + 1/2 = 1$
$\alpha=90^\circ: 1^2 + 0^2 = 1$
再举反例：若 $\sin\alpha=0.6, \cos\alpha=0.8$，则 $0.36+0.64=1$。
强调：无论角度如何变化，只要 $\alpha$ 是同一个角，平方和必为1。