定义 利用二倍角公式变形，由角的余弦值求该角正弦、正切值的公式。
从哪来 建立在4. 三角函数（同角三角函数关系及二倍角公式）与3. 函数图像变换（辅助理解符号变化）之上。
为什么 半角公式本质是二倍角公式的逆运算。
由 $2\alpha = \theta$，则 $\alpha = \frac{\theta}{2}$。
代入二倍角余弦公式 $\cos\theta = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2}$，移项得 $\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}$。
开方得 $\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$。
同理，由 $\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1$ 可推导出余弦半角公式。
正切公式则由 $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}$ 推导，或通过 $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ 得到。
核心逻辑：降幂与开方，符号由象限决定。
讲法
代数推导法
适合
逻辑严密、偏好公式推导的学生。
步骤：
1. 写出二倍角余弦公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$。
2. 将 $2\alpha$ 替换为 $\theta$，$\alpha$ 替换为 $\frac{\theta}{2}$。
3. 解方程求 $\sin\frac{\theta}{2}$ 和 $\cos\frac{\theta}{2}$。
4. 强调：因为涉及开平方，必须保留 $\pm$ 号，符号取决于 $\frac{\theta}{2}$ 所在的象限。
5. 推导正切公式：$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}} = \frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}}$，分子分母同乘 $\sqrt{1+\cos\theta}$ 或 $\sqrt{1-\cos\theta}$ 化简，最终得到 $\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ 或 $\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$。
讲法
几何直观法
适合
形象思维强、对代数变形畏难的学生。
步骤：
1. 画单位圆，设角 $\theta$ 终边与单位圆交于点 $P(\cos\theta, \sin\theta)$。
2. 作 $\angle POx$ 的角平分线 $OM$，交单位圆于 $Q$。则 $\angle QOx = \frac{\theta}{2}$。
3. 在 $\triangle POQ$ 中，利用弦长公式或坐标距离公式。
4. 更直观地：利用直角三角形。过 $P$ 作 $x$ 轴垂线 $PA$，过 $Q$ 作 $x$ 轴垂线 $QB$。
5. 观察 $\triangle OQB$ 和 $\triangle OPA$ 的关系。
6. 重点讲解：$\sin\frac{\theta}{2}$ 对应的是“半角”在单位圆上的纵坐标。通过勾股定理，在由原点、$P$点投影、$P$点构成的直角三角形中，结合半角位置，理解 $\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$ 的几何意义（即半角正弦值的绝对值）。
7. 强调：几何图形只能给出绝对值，符号仍需结合象限判断。
讲法
记忆口诀法
适合
应试压力大、需要快速记忆的学生。
口诀：
“余弦减一求正弦，余弦加一求余弦；正切等于正弦比，一减余弦分母上。”
具体记忆：
- $\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$ （减1对应正弦）
- $\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$ （加1对应余弦）
- $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$ （分子正弦，分母1+余弦）
- 或者 $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$ （分子1-余弦，分母正弦）
提示：记住“减正加余”（减1配正弦，加1配余弦），正切公式两个互为倒数形式，任选其一记忆即可，另一个由 $\sin^2+\cos^2=1$ 推导。