定义 描述平面直角坐标系中点 $(x,y)$ 经平移、伸缩变换后，新坐标 $(x',y')$ 与原坐标的代数关系式。
从哪来 建立在平移变换和伸缩变换的基础上，将几何变换转化为代数方程，实现坐标系的统一描述。
为什么 坐标系是描述点位置的参照系。当参照系发生平移（原点移动）或伸缩（单位长度改变）时，同一个物理点在两个参照系下的读数必然不同。基本坐标公式本质上是建立两个参照系之间的“换算桥梁”，确保几何图形在变换前后保持形状或位置的对应关系，这是解析几何处理复杂图形（如椭圆、双曲线）的基础。
代数推导法
直接列出变换前后的坐标关系。
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适合：逻辑性强、擅长纯代数运算、对几何直观不敏感的学生。
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内容：
1. 平移：原点从 $(0,0)$ 移到 $(h,k)$，则新坐标 $x' = x - h, y' = y - k$。
2. 伸缩：$x$ 轴伸长 $a$ 倍，$y$ 轴伸长 $b$ 倍，则新坐标 $x' = x/a, y' = y/b$。
3. 强调这是“被动”变换，即坐标系动了，点没动，所以坐标值变了。
几何直观法
利用向量或距离关系画图。
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适合：空间想象力好、喜欢通过图形理解抽象概念的学生。
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内容：
1. 画出原点 $O$ 和新原点 $O'$。
2. 对于任意点 $P$，向量 $\vec{OP} = \vec{OO'} + \vec{O'P}$。
3. 将向量分解为坐标分量，直观看出 $x = h + x'$，从而得出 $x' = x - h$。
4. 通过标尺刻度变化理解伸缩变换，强调“读数”与“实际长度”的比例关系。
逆向思维法
从“点动”反推“系动”。
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适合：容易混淆主动变换与被动变换、思维灵活的学生。
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内容：
1. 先讲大家熟悉的“点平移”：点 $(x,y)$ 向右移 $h$ 个单位变成 $(x+h, y)$。
2. 提问：如果点不动，坐标系向左移 $h$ 个单位，点的坐标怎么变？
3. 结论：坐标系向左移，相当于点相对坐标系向右移，故新坐标为 $(x+h, y)$？不对，坐标系向左移，原点变负，点相对原点变正，故 $x' = x + h$。
4. 对比记忆：系动方向与坐标变化方向相反（平移时），伸缩时系变大坐标变小。