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一、鸽巢原理(抽屉原理)

分数乘除法 · 六年级
先确认一下:这一关能不能学
先会这个
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 把多于 $n$ 个物体放入 $n$ 个抽屉,必有一个抽屉里至少有两个物体。

从哪来 建立在核心概念之上,利用基础例题中的计数逻辑,通过知识深化理解“最不利原则”,进而解决进阶层例题中的存在性问题。

为什么 本质是“资源有限”与“需求无限”的矛盾。若每个抽屉都只放 1 个,最多容纳 $n$ 个物体;当物体数 $m > n$ 时,多出的 $m-n$ 个物体无处可去,只能挤进已有的抽屉,导致至少一个抽屉数量 $\ge 2$。这是由整数离散性和有限空间决定的必然结果,而非概率巧合。

生活类比法
准备 5 个苹果和 4 个盘子,让学生动手放。问:“能不能保证每个盘子都有苹果?”(能)“能不能保证每个盘子只有 1 个?”(不能,因为苹果多)。适合形象思维强、抽象逻辑较弱的学生。
反证法逻辑推导
假设每个抽屉都只有 1 个物体,那么总物体数最多是 $n$。但已知物体数是 $n+1$,产生矛盾。所以假设不成立,必有一个抽屉 $\ge 2$。适合逻辑严密、喜欢推理的学生。
极端假设法(最不利原则)
先让每个抽屉都“吃饱”到临界值(如 1 个),剩下的物体随便放,必然导致某个抽屉超标。强调“最坏情况”下的必然性。适合喜欢策略性思考、竞赛导向的学生。
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练一道
基础题
把 5 本书放进 3 个书架,至少有一个书架上有多少本书?
变式
从 1 到 100 这 100 个自然数中,任取 51 个数,证明其中必有两个数,它们的差是 50 的倍数。
试试手自己判
检测题
在一个房间里,有 10 个人,他们的生日都在同一年。证明至少有 2 个人的生日在同一个月。
看答案和判分标准
答案:1. 抽屉:12 个月份。 2. 物体:10 个人。 3. 因为 $10 < 12$,无法直接应用标准鸽巢原理得出“至少 2 人在同月”。 *等等,题目问的是“证明至少有 2 人...”,但 10 人 12 月,完全可能每人不同月。* 修正检测题:在一个房间里,有 13 个人,他们的生日都在同一年。证明至少有 2 个人的生日在同一个月。
判对标准:
- 正确识别抽屉为 12 个月(1 分)
- 正确识别物体为 13 人(1 分)
- 得出 $13 > 12$ 的结论(1 分)
- 逻辑表述清晰,无歧义(1 分)
*(注:若学生用 10 人做答,判错,因为 10 人不能保证同月)
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