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3.2 竞赛真题

可能性 · 五年级
讲清楚它是什么

定义 运用多种数学策略解决复杂问题,通过真题演练实现策略的迁移与综合应用。

从哪来 建立在 3.1 综合策略应用 之上,并整合 1.1 分数的意义、1.1 画图策略、1.2 列表策略、1.3 列举策略、2.1 假设策略、2.2 倒推策略 等前置知识。

为什么 单一策略往往无法应对竞赛中多条件、多变量交织的复杂情境。真题训练的核心价值在于打破策略壁垒,让学生根据题目特征(如逆向思维、离散枚举、连续量关系)灵活调用不同工具,从而形成“见题知策”的元认知能力,这是从“会做题”到“能解题”的关键跃迁。

策略识别法
适合逻辑清晰但缺乏灵活性的学生。 教师展示真题,不直接解题,而是带领学生分析题目特征(如“已知结果求过程”、“条件离散”、“涉及部分与整体”),强制学生说出“这道题让我想到哪个策略”,并解释理由。通过反复的“特征-策略”匹配训练,建立条件反射式的解题直觉。
错题复盘法
适合基础扎实但易粗心或思路卡壳的学生。 选取学生曾做错的真题,让学生重新独立解答。重点不在于答案对错,而在于让学生画出当时的思维路径图。教师对比标准解法,找出思维断点(如:该画图时硬算、该倒推时正向硬推),通过“思维可视化”让学生看到自己策略选择的失误,从而强化策略适用的边界条件。
一题多解对比法
适合思维活跃、追求深度理解的学生。 针对同一道真题,引导学生尝试用两种不同策略解决(例如:既用“假设策略”又用“倒推策略”)。完成后,对比两种方法的步骤数量、计算复杂度和思维难度。让学生自己判断哪种策略更优,并总结“在什么情况下,策略A优于策略B”,从而提升策略选择的精准度。
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练一道
基础题
甲、乙两人同时从A、B两地相向而行,甲每小时行6千米,乙每小时行4千米。两人在途中相遇时,甲比乙多行了10千米。求A、B两地之间的距离。
变式
一个笼子里有鸡和兔,共有头10个,脚28只。问鸡和兔各有多少只?
看解答过程
1. 策略选择:题目涉及速度、时间、路程关系,且已知路程差,适合用画图策略辅助理解,结合分数的意义(比例关系)或方程思想。 2. 分析:相遇时,两人所用时间相同。路程比等于速度比。 甲速 : 乙速 = 6 : 4 = 3 : 2。 因此,甲路程 : 乙路程 = 3 : 2。 3. 计算: 甲比乙多行 3 - 2 = 1 份。 已知多行 10 千米,所以 1 份 = 10 千米。 总路程 = 甲路程 + 乙路程 = 3份 + 2份 = 5份。 总距离 = 10 × 5 = 50(千米)。 或者:时间 = 10 ÷ (6-4) = 5小时;距离 = (6+4) × 5 = 50千米。
试试手自己判
检测题
小明从家到学校,如果每分钟走60米,就会迟到2分钟;如果每分钟走75米,就能提前1分钟到达。问小明家到学校的距离是多少米?
看答案和判分标准
答案:1. 策略:假设策略(或方程法,此处用假设策略思路)。 2. 分析: 设规定时间为 $t$ 分钟。 情况1:路程 = $60 \times (t + 2)$ 情况2:路程 = $75 \times (t - 1)$ 因为路程相等,所以 $60(t + 2) = 75(t - 1)$。 $60t + 120 = 75t - 75$ $15t = 195$ $t = 13$(分钟)。 距离 = $60 \times (13 + 2) = 60 \times 15 = 900$(米)。 或者用纯算术假设策略: 假设按60米/分走,迟到2分钟,意味着比“准时到达”多走了 $60 \times 2 = 120$ 米。 假设按75米/分走,提前1分钟,意味着比“准时到达”少走了 $75 \times 1 = 75$ 米。 速度差导致的路程差 = $120 + 75 = 195$ 米。 速度差 = $75 - 60 = 15$ 米/分。 准时所需时间 = $195 \div 15 = 13$ 分钟。 距离 = $60 \times (13 + 2) = 900$ 米。
判对标准:
1. 正确识别出这是行程问题中的“盈亏问题”变式,适用假设策略或方程策略。
2. 正确计算出“准时所需时间”为13分钟(或等效的中间量)。
3. 最终距离计算正确为900米。
4. 过程清晰,逻辑连贯,无计算错误。
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