3.4 对称性

1. 识别对称性：竖直上抛运动关于最高点（速度为零的点）具有时间对称性。 2. 应用原理：在最高点两侧，相同高度处的速度大小相等，方向相反。 3. 推导： * 设最大高度为 $H$。 * 上升过程：$H = v_0 t_{up} - \frac{1}{2}g t_{up}^2$，且 $0 = v_0 - g t_{up} \Rightarrow t_{up} = v_0/g$。 * 下落过程：从最高点下落 $H/2$ 的距离。 * 利用对称性，上升阶段经过 $H/2$ 处的速度 $v_{mid}$ 与下落阶段经过 $H/2$ 处的速度大小相等。 * 更直接地，利用时间对称性：整个上升时间 $T = v_0/g$。 * 上升阶段位移 $y(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$。 * 当 $y = H/2 = \frac{v_0^2}{4g}$ 时，解得 $t_1$。 * 下落阶段，从最高点开始，$y'(t') = \frac{1}{2}g t'^2$。当 $y' = H/2$ 时，$t_2 = \sqrt{\frac{H}{g}} = \frac{v_0}{\sqrt{2}g}$。 * 实际上，利用对称性更简单：上升和下落是对称的。从地面到 $H/2$ 的时间 $t_1$ 和从 $H/2$ 到最高点的时间 $t_{top}$ 并不相等，但从最高点下落到 $H/2$ 的时间 $t_2$ 等于从 $H/2$ 上升到最高点的时间。

答案：$\frac{q}{m} = \frac{2\pi v}{d \cdot \frac{t}{\pi}}$ ... 不对，重新推导。 轨迹为圆弧。弦长 $d$。 由对称性，圆心在 PQ 的中垂线上。 设圆心角为 $\theta$。则 $d = 2R \sin(\theta/2)$。 运动时间 $t = \frac{\theta}{2\pi} T = \frac{\theta}{2\pi} \frac{2\pi m}{qB} = \frac{\theta m}{qB}$。 又 $R = \frac{mv}{qB}$。 代入 $d = 2 \frac{mv}{qB} \sin(\theta/2)$。 $t = \frac{\theta m}{qB} \Rightarrow \frac{m}{qB} = \frac{t}{\theta}$。 $d = 2 v \frac{t}{\theta} \sin(\theta/2)$。 $d = 2vt \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}$。 这似乎无法直接解出 $q/m$ 而不涉及 $B$ 和 $\theta$。 修正题目： 一个带电粒子垂直射入匀强磁场，从 P 点进，Q 点出，PQ 连线与入射速度方向夹角为 $\alpha$。求粒子在磁场中运动的时间 $t$ 与比荷 $q/m$ 的关系（已知 $B$）。
判对标准：
1. 指出圆心角 $\theta = 2\alpha$（利用对称性：入射速度与弦 PQ 夹角等于出射速度与弦 PQ 夹角）。
2. 正确写出周期公式 $T = \frac{2\pi m}{qB}$。
3. 正确关联时间 $t$ 与圆心角 $\theta$：$t = \frac{\theta}{2\pi} T$。
4. 最终得出 $\frac{q}{m} = \frac{2\alpha}{B t}$。