定义 行星绕太阳公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比，即 $T^2 \propto a^3$。
从哪来 它建立在 3.1 向心力 之上。
为什么 行星绕太阳做近似圆周运动，万有引力提供向心力。
由牛顿第二定律：$F_{\text{引}} = m a_{\text{向}}$。
即 $\frac{GMm}{r^2} = m \frac{4\pi^2}{T^2} r$。
整理得：$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$。
因为 $G$ 和 $M$（太阳质量）对绕同一中心天体运动的行星都是常数，所以 $\frac{T^2}{r^3}$ 为定值。
这说明：轨道半径越大，需要的向心力越小（因为距离远），为了维持这种较弱的束缚，行星必须运动得更慢（周期更长），且这种“慢”与“远”之间遵循严格的立方-平方关系。
类比法：荡秋千**
**适合学生
直觉型、喜欢生活经验类比的学生。
讲法：
想象你在荡秋千。如果你荡得幅度很小（半径小），你荡一圈很快（周期短）；如果你荡得幅度很大（半径大），你荡一圈就很慢（周期长）。
开普勒第三定律就是告诉你，这个“慢”不是线性的，而是有固定规律的。就像荡秋千，幅度扩大2倍，时间不是扩大2倍，而是扩大 $2^{1.5}$ 倍左右。行星也是如此，离太阳越远，不仅跑得慢，而且慢的程度遵循 $T^2 \propto a^3$ 的严格数学关系。
推导法：从向心力公式出发**
**适合学生
逻辑型、擅长数学推导的学生。
讲法：
直接利用前置知识“向心力”。
1. 行星做圆周运动，向心力由万有引力提供：$F = \frac{GMm}{r^2}$。
2. 向心力公式用周期表示：$F = m(\frac{2\pi}{T})^2 r = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$。
3. 联立两式：$\frac{GMm}{r^2} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$。
4. 消去行星质量 $m$，移项得：$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$。
5. 结论：右边全是常数，所以左边 $\frac{T^2}{r^3}$ 必为常数。这就是开普勒第三定律的数学本质。
数据对比法：看表格找规律**
**适合学生
数据敏感型、喜欢归纳总结的学生。
讲法：
给出太阳系前几颗行星的数据（简化版）：
- 水星：$a \approx 0.39$ AU, $T \approx 0.24$ 年 $\rightarrow T^2/a^3 \approx 0.0576/0.059 \approx 0.97$
- 地球：$a = 1.00$ AU, $T = 1.00$ 年 $\rightarrow T^2/a^3 = 1/1 = 1.00$
- 火星：$a \approx 1.52$ AU, $T \approx 1.88$ 年 $\rightarrow T^2/a^3 \approx 3.53/3.51 \approx 1.00$
让学生计算 $T^2$ 和 $a^3$，然后求比值。
学生会发现，尽管 $a$ 和 $T$ 变化很大，但 $T^2/a^3$ 几乎不变。
强调：这个比值只跟中心天体（太阳）有关，跟行星本身没关系。