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2.3 重力加速度随高度变化

万有引力与天体运动 · 高一
先确认一下:这一关能不能学
上面这几节是它的地基 —— 没通的话,补完再回来,比硬啃快得多。
讲清楚它是什么

定义 物体在距地心不同距离处,仅受万有引力作用时产生的加速度,随高度增加而减小。

从哪来 建立在 3.1 向心力 之上。

为什么 根据牛顿第二定律 $F=ma$ 和万有引力定律 $F=G\frac{Mm}{r^2}$,可得 $a=G\frac{M}{r^2}$。其中 $r$ 为物体到地心的距离,$r=R+h$($R$ 为地球半径,$h$ 为高度)。因为 $a$ 与 $r^2$ 成反比,所以高度 $h$ 越高,$r$ 越大,重力加速度 $g$ 越小。

讲法
适合:形象思维强、喜欢直观类比的学生 讲法:橡皮筋模型 想象地球中心有一根极长的橡皮筋,你站在地球表面(短端),橡皮筋拉得很紧,把你往回拽的力很大($g$ 大)。当你爬到高山上(长端),橡皮筋被拉得更长更松,拽你的力就变小了($g$ 小)。强调“距离越远,引力越弱”的直观感受。
讲法
适合:逻辑严密、擅长数学推导的学生 讲法:公式推导法 直接列出 $mg = G\frac{Mm}{(R+h)^2}$,消去 $m$ 得到 $g_h = g_0 (\frac{R}{R+h})^2$。通过代数变形,让学生看到 $g_h$ 是 $g_0$ 的一个分数倍,且分母随 $h$ 增大而增大,从而严格证明 $g$ 随 $h$ 单调递减。
讲法
适合:对物理情境敏感、喜欢应用题的学生 讲法:卫星轨道对比 对比近地卫星(高度几百公里)和同步卫星(高度3.6万公里)。问:为什么同步卫星飞得那么慢(周期长),而近地卫星飞得快?引导学生回忆 $a_n = \omega^2 r$ 或 $v^2/r$,结合 $a$ 由引力提供,发现高轨道处引力小,加速度小,从而理解“高处 $g$ 小”的实际物理意义。
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练一道
基础题
已知地球半径为 $R$,地表重力加速度为 $g$。求在距地面高度为 $R$ 处的重力加速度 $g'$。
变式
某物体在地表受到的重力为 $G_0$。若该物体在距地面高度为 $3R$ 处,其受到的万有引力大小是多少?
试试手自己判
检测题
若某星球半径为 $R$,地表重力加速度为 $g$。一探测器从地表垂直发射,当它到达距地表高度为 $2R$ 的位置时,其受到的万有引力加速度是地表处的多少倍?
看答案和判分标准
答案:$1/9$
判对标准:
1. 正确识别距离地心为 $3R$($R+2R$)。
2. 正确应用平方反比关系 $(1/3)^2$。
3. 最终得出 $1/9$。若答 $1/4$ 或 $1/6$ 均判错。
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